Ответ:
1. Слово категории состояния — жарко в предложении «В августе на юге было жарко». Оно обозначает состояние окружающей среды и является сказуемым в безличном предложении.
2. Омонимичное наречие — жарко в предложении «Старший проводник жарко спорил с товарищем». Оно зависит от глагола спорил, обозначает признак действия и является обстоятельством образа действия. Омонимичное краткое прилагательное — жарко в предложении «Лето … выдалось жарко и засушливо»: оно относится к подлежащему лето и входит в состав сказуемого выдалось жарко и засушливо.
3. Наречие зависит от глагола и отвечает на вопрос «как?». Краткое прилагательное относится к существительному и характеризует его; слово категории состояния обозначает состояние среды или лица в безличном предложении.
