Ответ:

1. Слово категории состояния — «жарко» в предложении «В августе на юге было жарко». Оно обозначает состояние окружающей среды, не изменяется и является сказуемым в безличном предложении.

2. Омонимичное наречие — «жарко» в предложении «Старший проводник жарко спорил с товарищем». Оно обозначает признак действия, отвечает на вопрос «как?», является обстоятельством образа действия.

Омонимичное краткое прилагательное — «жарко» в предложении «А лето в этом году выдалось жарко и засушливо». Оно обозначает признак предмета «лето», согласуется с ним в форме единственного числа среднего рода и является именной частью сказуемого.

3. Формы различаются по значению и синтаксической роли: наречие обозначает признак действия и зависит от глагола, а краткое прилагательное обозначает признак предмета и связано с существительным. Слово категории состояния обозначает состояние природы, человека или окружающей среды и обычно выступает сказуемым в безличном предложении.

Ответ: «жарко» — слово категории состояния в первом предложении, наречие во втором и краткое прилагательное в третьем.