Ответ:

Во фрагменте есть неразборчивое или искажённое место: «у путника пропасть в тени оле». Поэтому слово категории состояния и его роль в этом предложении нельзя надёжно определить без точного текста.

В читаемой части слово жарко употреблено как наречие в сочетании «жарко спорит»: оно относится к глаголу спорит и является обстоятельством образа действия.

В сочетании «выдалось жарко и засушливо» слово жарко — слово категории состояния, главный член безличной части предложения; оно обозначает состояние окружающей среды. При этом среди читаемых фрагментов нет надёжного примера краткого прилагательного жарко: чтобы определить его, нужен точный текст исходного отрывка.

Омонимичные формы различают по значению и синтаксической связи: наречие обычно зависит от глагола и является обстоятельством; краткое прилагательное относится к существительному и входит в состав сказуемого; слово категории состояния обозначает состояние и выступает главным членом безличного предложения.