Задание 5. Решить ДУ: а) \(4y' - y = 0\); б) \(9y'' + 12y' + 4y = 0\); в) \(y'' - 2y' + 5y = 0\).

а) Разделим переменные: \(y'=\frac{y}{4}\), поэтому \(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{4}\). Интегрируя, получаем \(\ln|y|=\frac{x}{4}+C\).

Общее решение: \(y=C_1e^{x/4}\).

б) Составим характеристическое уравнение: \(9r^2+12r+4=0=(3r+2)^2\). Оно имеет кратный корень \(r=-\frac{2}{3}\).

При кратном корне общее решение имеет вид \(y=(C_1+C_2x)e^{-2x/3}\).

в) Характеристическое уравнение: \(r^2-2r+5=0\). Его корни: \(r=1\pm2i\).

Для комплексных корней \(\alpha\pm\beta i\) решение равно \(e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\). Следовательно, \(y=e^x(C_1\cos2x+C_2\sin2x)\).

Ответ: а) \(y=C_1e^{x/4}\); б) \(y=(C_1+C_2x)e^{-2x/3}\); в) \(y=e^x(C_1\cos2x+C_2\sin2x)\).