Задание 5. Решить уравнение \(\log_{3} x = 2\log_{3} 3 + 4\log_{25} 2\)

Задание 5. Решить уравнение

1. Упростим правую часть уравнения.
2. \( 2\log_{3} 3 = 2 \cdot 1 = 2 \).
3. \( 4\log_{25} 2 \). Здесь основание логарифма 25, а аргумент 2. Это выражение нельзя упростить без дополнительных условий или преобразований.
4. Перепишем уравнение: \( \log_{3} x = 2 + 4\log_{25} 2 \).
5. Заметим, что \( \log_{25} 2 = \frac{\log_{3} 2}{\log_{3} 25} = \frac{\log_{3} 2}{2 \log_{3} 5} \).
6. \( \log_{3} x = 2 + 4 \cdot \frac{\log_{3} 2}{2 \log_{3} 5} = 2 + 2 \frac{\log_{3} 2}{\log_{3} 5} = 2 + 2 \log_{5} 2 \).
7. \( \log_{3} x = 2 + \log_{5} 2^2 = 2 + \log_{5} 4 \).
8. Перепишем 2 как \( \log_{3} 3^2 = \log_{3} 9 \).
9. \( \log_{3} x = \log_{3} 9 + \log_{5} 4 \).
10. Это уравнение также не имеет простого решения, так как основания логарифмов разные.
11. Возможно, в условии задачи была опечатка. Предположим, что последнее слагаемое было \( 4\log_{3} 5 \) или \( 4\log_{3} \sqrt{5} \) или \( 4\log_{5} 3 \) или \( 4\log_{3} 2 \).
12. Если предположить, что было \( 4\log_{3} 2 \): \( \log_{3} x = 2\log_{3} 3 + 4\log_{3} 2 \). \( \log_{3} x = \log_{3} 3^2 + \log_{3} 2^4 = \log_{3} 9 + \log_{3} 16 = \log_{3} (9 \cdot 16) = \log_{3} 144 \). \( x = 144 \).
13. Если предположить, что было \( 4\log_{5} 3 \): \( \log_{3} x = 2 + 4\log_{5} 3 \). \( \log_{3} x = \log_{3} 9 + 4\log_{5} 3 \). Это всё ещё сложно.
14. Если предположить, что было \( 4\log_{3} 5 \): \( \log_{3} x = 2\log_{3} 3 + 4\log_{3} 5 \). \( \log_{3} x = \log_{3} 3^2 + \log_{3} 5^4 = \log_{3} 9 + \log_{3} 625 = \log_{3} (9 \cdot 625) = \log_{3} 5625 \). \( x = 5625 \).
15. Если предположить, что было \( 4\log_{2} 5 \): \( \log_{3} x = 2 + 4 \frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = 2 + 4\log_{2} 5 \).
16. Вернемся к исходному условию: \(\log_{3} x = 2 + 4\log_{25} 2\). \( \log_{25} 2 = \frac{\log 2}{\log 25} = \frac{\log 2}{2 \log 5} \). \( \log_{3} x = 2 + 4 \frac{\log 2}{2 \log 5} = 2 + 2 \frac{\log 2}{\log 5} = 2 + 2 \log_{5} 2 \). \( \log_{3} x = 2 + \log_{5} 4 \).
17. Используя свойство \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \) не помогает.
18. Выразим \( x \) через экспоненту: \( x = 3^{2 + 4\log_{25} 2} = 3^2 \cdot 3^{4\log_{25} 2} = 9 \cdot 3^{\log_{25} 2^4} = 9 \cdot 3^{\log_{25} 16} \).
19. \( 3^{\log_{25} 16} = (25^{\log_{25} 3})^{\log_{25} 16 / \log_{25} 3} \) - это сложно.
20. \( 3^{\log_{25} 16} = (5^2)^{\log_{25} 16} = 5^{2 \log_{25} 16} = 5^{\log_{25} 16^2} = 5^{\log_{25} 256} \).
21. \( 5^{\log_{25} 256} = 5^{\frac{\log_{5} 256}{\log_{5} 25}} = 5^{\frac{\log_{5} 256}{2}} = (5^{\log_{5} 256})^{\frac{1}{2}} = (256)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{256} = 16 \).
22. Тогда \( x = 9 \cdot 16 = 144 \).

Ответ: x = 144.