Задание 5. Решите неравенства: а) \(\left(\frac{1}{36}\right)^x-7\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^x+6\ge0\); б) \(\lg 6>\lg x+\lg(x-2)\).

а) Положим \(t=\left(\frac16\right)^x\), где \(t>0\). Тогда \(\left(\frac1{36}\right)^x=t^2\), и неравенство принимает вид \(t^2-7t+6\ge0\).

Разложим на множители: \((t-1)(t-6)\ge0\). С учётом \(t>0\) получаем \(0

Функция \(\left(\frac16\right)^x\) убывает. Условию \(t\le1\) соответствуют \(x\ge0\), а условию \(t\ge6=\left(\frac16\right)^{-1}\) — \(x\le-1\).

б) Область определения: \(x>0\) и \(x-2>0\), то есть \(x>2\). Объединяем логарифмы и используем возрастание десятичного логарифма:

\(\lg 6>\lg(x(x-2))\) равносильно \(6>x(x-2)\), при условии \(x>2\).

Получаем \(x^2-2x-6<0\). Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(1-\sqrt7\) и \(1+\sqrt7\); неравенство выполняется между корнями. Пересечение с областью определения даёт \(2

Ответ: а) \(( -\infty,-1]\cup[0,+\infty)\); б) \((2,1+\sqrt7)\).