Задание 5. Решите систему неравенств. На каком рисунке изображено множество её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Для решения этой задачи нужно поочередно решить каждую систему неравенств и выбрать тот рисунок, который соответствует полученному решению.

1. Система 1: \[ \begin{cases} -35+5x>0 \\ 6-3x>-3 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$5x > 35$$, $$x > 7$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x > -9$$, $$x < 3$$.

   Объединяя решения, получаем $$x < 3$$ и $$x > 7$$. Нет ни одного числа, которое было бы одновременно меньше 3 и больше 7. Следовательно, решений нет. На рисунке это должно быть изображено как пустое множество. В вариантах есть пункт "нет решений".

2. Система 2: \[ \begin{cases} -5+5x<0 \\ 4-3x<31 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$5x < 5$$, $$x < 1$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x < 27$$, $$x > -9$$.

   Объединяя решения, получаем $$-9 < x < 1$$. На числовой прямой это будет интервал от -9 до 1, не включая концы.

3. Система 3: \[ \begin{cases} -9+3x<0 \\ 2-3x<-10 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$3x < 9$$, $$x < 3$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x < -12$$, $$x > 4$$.

   Объединяя решения, получаем $$x < 3$$ и $$x > 4$$. Решений нет.

4. Система 4: \[ \begin{cases} -12+3x>0 \\ 9-4x>-3 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$3x > 12$$, $$x > 4$$.
   • Из второго неравенства: $$-4x > -12$$, $$x < 3$$.

   Объединяя решения, получаем $$x > 4$$ и $$x < 3$$. Решений нет.

5. Система 5: \[ \begin{cases} -35+5x<0 \\ 6-3x>-18 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$5x < 35$$, $$x < 7$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x > -24$$, $$x < 8$$.

   Объединяя решения, получаем $$x < 7$$ и $$x < 8$$. Общее решение: $$x < 7$$. На числовой прямой это будет интервал от минус бесконечности до 7, не включая 7.

6. Система 6: \[ \begin{cases} -27+3x>0 \\ 6-3x<-6 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$3x > 27$$, $$x > 9$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x < -12$$, $$x > 4$$.

   Объединяя решения, получаем $$x > 9$$ и $$x > 4$$. Общее решение: $$x > 9$$. На числовой прямой это будет интервал от 9 до плюс бесконечности, не включая 9.

7. Система 7: \[ \begin{cases} -9+3x>0 \\ 2-3x>-10 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$3x > 9$$, $$x > 3$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x > -12$$, $$x < 4$$.

   Объединяя решения, получаем $$3 < x < 4$$. На числовой прямой это будет интервал от 3 до 4, не включая концы.

8. Система 8: \[ \begin{cases} -27+3x<0 \\ 6+4x>6 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$3x < 27$$, $$x < 9$$.
   • Из второго неравенства: $$4x > 0$$, $$x > 0$$.

   Объединяя решения, получаем $$0 < x < 9$$. На числовой прямой это будет интервал от 0 до 9, не включая концы.

9. Система 9: \[ \begin{cases} -35+5x<0 \\ 6-3x<-3 \end{cases} \]
   • Из первого неравенства: $$5x < 35$$, $$x < 7$$.
   • Из второго неравенства: $$-3x < -9$$, $$x > 3$$.

   Объединяя решения, получаем $$3 < x < 7$$. На числовой прямой это будет интервал от 3 до 7, не включая концы.

Теперь сопоставим полученные решения с предложенными рисунками:

• Система 1: Нет решений. Соответствует варианту 1) в блоке 1.
• Система 2: $$-9 < x < 1$$. Соответствует варианту 4) в блоке 2.
• Система 3: Нет решений. Соответствует варианту 3) в блоке 3.
• Система 4: Нет решений. Соответствует варианту 1) в блоке 4.
• Система 5: $$x < 7$$. Соответствует варианту 3) в блоке 5.
• Система 6: $$x > 9$$. Соответствует варианту 4) в блоке 6.
• Система 7: $$3 < x < 4$$. Соответствует варианту 2) в блоке 7.
• Система 8: $$0 < x < 9$$. Соответствует варианту 3) в блоке 8.
• Система 9: $$3 < x < 7$$. Соответствует варианту 4) в блоке 9.

В ответе нужно указать номер ПРАВИЛЬНОГО ВАРИАНТА, то есть номер рисунка, изображающего множество решений. Так как в задании просят указать номер ПРАВИЛЬНОГО ВАРИАНТА, а не номер системы, нам нужно посмотреть на сами варианты ответов.

Рассмотрим системы и их варианты ответов:

• Система 1: Решений нет. Вариант 1) "нет решений".
• Система 4: Решений нет. Вариант 1) "нет решений".
• Система 7: $$3 < x < 4$$. Вариант 2) изображает этот интервал.
• Система 9: $$3 < x < 7$$. Вариант 4) изображает этот интервал.

Обратим внимание на формулировку: "На каком рисунке изображено множество её решений? В ответе укажите номер правильного варианта." Это значит, что нам нужно найти, какая из ПРЕДЛОЖЕННЫХ СИСТЕМ неравенств имеет решение, изображенное на одном из рисунков, и указать НОМЕР этого рисунка.

Давайте найдем систему, решение которой изображено на рисунке №7, варианте №2.

Система №7: \[ \begin{cases} -9+3x>0 \\ 2-3x>-10 \end{cases} \] Решение: $$3 < x < 4$$. Этот интервал изображен на рисунке 7, вариант 2.

Ответ: 7