Задание №5. В четырёхугольнике ABCD точка M — середина диагонали AC, а N — середина диагонали BD. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AD}=\vec a\) и \(\overrightarrow{CB}=\vec b\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MN}\) через \(\vec a\) и \(\vec b\).

Так как M — середина AC, её радиус-вектор относительно точки A равен:

\(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AC}\).

Так как N — середина BD, то:

\(\overrightarrow{AN}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\).

Из условия \(\overrightarrow{CB}=\vec b\), следовательно:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\vec b\).

Тогда:

\[\overrightarrow{AN}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\vec b+\vec a).\]

Вычтем \(\overrightarrow{AM}\):

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\vec b+\vec a)-\frac12\overrightarrow{AC}.\]

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

\[\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a+\frac12\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).