Задание 5: В футбольном турнире принимали участие 33 команды, среди которых команды «Белка» и «Стрелка». Правила футбольного турнира следующие: каждая команда играет с каждой по одному разу, в каждом матче победившая команда получает 3 очка, а проигравшая — 0 очков, в случае ничьей обе команды получают по 1 очку. По результатам турнира команда «Белка» набрала 94 очка, а команда «Стрелка» со всеми командами сыграла вничью. Какая наибольшая сумма очков могла быть у команды, занявшей второе место по результатам турнира?

Решение:

В турнире участвовало 33 команды. Каждая команда играет с каждой по одному разу. Общее количество матчей равно \( \frac{33 \times 32}{2} = 528 \).

Команда «Стрелка» сыграла все матчи вничью. Всего «Стрелка» провела \( 33 - 1 = 32 \) матча. За каждую ничью команда получает 1 очко. Таким образом, команда «Стрелка» набрала \( 32 \times 1 = 32 \) очка.

Команда «Белка» набрала 94 очка. Количество матчей, сыгранных «Белкой», равно \( 32 \).

Чтобы найти наибольшую сумму очков у команды, занявшей второе место, нужно предположить, что «Белка» не играла с командой, занявшей второе место, и в остальных матчах «Белка» выиграла (если это возможно, чтобы получить наибольшее количество очков).

Сначала определим, сколько побед, поражений и ничьих у «Белки». Пусть \( p \) — количество побед, \( n \) — количество ничьих, \( t \) — количество поражений.

\( p + n + t = 32 \)

\( 3p + 1n + 0t = 94 \)

Из второго уравнения: \( 3p + n = 94 \). Возможные значения \( p \) и \( n \) (где \( p \) и \( n \) — целые неотрицательные числа, и \( p \) не больше 32, \( n \) не больше 32):

• Если \( p = 32 \), \( n = 94 - 3 \times 32 = 94 - 96 = -2 \) (не подходит).
• Если \( p = 31 \), \( n = 94 - 3 \times 31 = 94 - 93 = 1 \). Тогда \( t = 32 - 31 - 1 = 0 \). «Белка» выиграла 31 матч, 1 ничья, 0 поражений.
• Если \( p = 30 \), \( n = 94 - 3 \times 30 = 94 - 90 = 4 \). Тогда \( t = 32 - 30 - 4 = -2 \) (не подходит).

Значит, у «Белки» 31 победа и 1 ничья.

Теперь рассмотрим команду, занявшую второе место. Чтобы у нее была максимальная сумма очков, эта команда должна была проиграть «Белке» (или сыграть вничью, чтобы «Белка» не получила 3 очка, а только 1, но тогда у второй команды было бы больше очков). Если «Белка» выиграла у команды X, то «Белка» получила 3 очка, а команда X — 0.

Пусть команда X заняла второе место. «Белка» выиграла у X, получив 3 очка, а X — 0 очков. Это означает, что матч между «Белкой» и X был одной из 31 победы «Белки».

Рассмотрим наихудший сценарий для команды X (чтобы максимизировать ее очки при проигрыше «Белке»):

Команда X сыграла 31 матч с другими командами (кроме «Белки») и получила за них максимально возможное количество очков. И еще сыграла с «Белкой», где проиграла (0 очков).

Максимальное количество очков, которое может набрать команда X в 31 матче (если она выиграет все, кроме матча с «Белкой»):

\( 31 \text{ победа} \times 3 \text{ очка} = 93 \) очка.

Итого, максимальное количество очков у команды X будет \( 93 \) (за матчи с остальными) + \( 0 \) (за матч с «Белкой») = \( 93 \) очка.

Теперь рассмотрим случай, когда «Белка» сыграла с командой X вничью. В этом случае «Белка» получает 1 очко, а команда X — 1 очко. Это было бы одно из 32 матчей «Белки».

Если «Белка» имеет 31 победу и 1 ничью, то её общий счёт 94 очка. Если эта ничья была с командой X, то X получила 1 очко от «Белки».

Тогда у команды X осталось 31 матч против других команд. Максимум очков, которые она могла набрать в этих 31 матче, — \( 31 \times 3 = 93 \) очка. Общий счёт X: \( 93 + 1 = 94 \) очка. В этом случае X заняла бы первое место, а не второе.

Значит, «Белка» выиграла у команды X. И у команды X осталось 31 матч против остальных команд.

Чтобы максимизировать очки команды X, она должна выиграть все 31 матч против остальных команд. Тогда она наберет \( 31 \times 3 = 93 \) очка.

Однако, в задаче указано, что «Стрелка» сыграла все матчи вничью. И «Белка» набрала 94 очка. Команда «Стрелка» имеет 32 очка.

Рассмотрим случай, когда команда X (второе место) не играла с «Белкой». Тогда «Белка» выиграла у всех остальных 31 команд, и 1 ничья. Если «Белка» не играла с X, то X могла выиграть у всех остальных 31 команд (кроме «Белки»).

Команда X сыграла 31 матч (без учета матча с «Белкой»).

Чтобы у команды X было максимально возможное количество очков, и она заняла второе место, она должна была выиграть все матчи, кроме матча с «Белкой», в котором она проиграла.

Тогда очки команды X = \( 31 \text{ победа} \times 3 \text{ очка} + 0 \text{ очков за матч с «Белкой»} = 93 \) очка.

Но это при условии, что «Белка» выиграла у X. А если X — второе место, то её очки должны быть меньше, чем у «Белки».

Пусть команда X заняла второе место. «Белка» заняла первое место с 94 очками. Команда «Стрелка» набрала 32 очка.

Команда X сыграла 32 матча. Пусть у X было \( p_X \) побед, \( n_X \) ничьих, \( t_X \) поражений.

\( p_X + n_X + t_X = 32 \)

\( 3 p_X + n_X = \text{очки X} \)

Чтобы максимизировать очки X, нужно минимизировать её поражения и максимизировать победы, но так, чтобы очки X были меньше 94.

Если X проиграла «Белке», то \( t_X \to 1 \) (минимум одно поражение). Тогда \( p_X = 31 \), \( n_X = 0 \), \( t_X = 1 \). Очки X = \( 31 \times 3 + 0 = 93 \).

Если X сыграла вничью с «Белкой», то \( n_X \to 1 \) (минимум одна ничья). Тогда \( p_X = 31 \), \( n_X = 1 \), \( t_X = 0 \). Очки X = \( 31 \times 3 + 1 = 94 \). Это означает, что X заняла бы первое место.

Следовательно, команда X должна была проиграть «Белке».

Пусть X заняла второе место. Максимально возможное количество очков для второго места — это 93. Это достигается, если X выиграла 31 матч и проиграла 1 матч (именно «Белке»).

Таким образом, наибольшая сумма очков у команды, занявшей второе место, равна 93.

Проверим:

«Белка»: 31 победа (93 очка) + 1 ничья (1 очко) = 94 очка.

Команда X: 31 победа (93 очка) + 1 поражение от «Белки» (0 очков) = 93 очка.

«Стрелка»: 32 ничьи = 32 очка.

Этот расклад возможен, где «Белка» — первое место, команда X — второе место.

Ответ: 93.