Задание 5. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Высота пирамиды равна медиане основания, проведенной к гипотенузе. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды находится по формуле: V = (1/3) * S_осн * h, где S_осн – площадь основания, а h – высота пирамиды.

1. Находим площадь основания (S_осн):
   Основание – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
   
   • \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \]
   • \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 48 \]
   • \[ S_{осн} = 24 \]
2. Находим гипотенузу основания:
   Используем теорему Пифагора:
   
   • \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
   • \[ c^2 = 6^2 + 8^2 \]
   • \[ c^2 = 36 + 64 \]
   • \[ c^2 = 100 \]
   • \[ c = \sqrt{100} = 10 \]
3. Находим медиану основания (m_c):
   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
   
   • \[ m_c = \frac{c}{2} \]
   • \[ m_c = \frac{10}{2} \]
   • \[ m_c = 5 \]
4. Определяем высоту пирамиды (h):
   По условию, высота пирамиды равна медиане основания, проведенной к гипотенузе.
   
   • \[ h = m_c = 5 \]
5. Находим объем пирамиды:
   Теперь подставляем найденные значения в формулу объема:
   
   • \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \]
   • \[ V = \frac{1}{3} \times 24 \times 5 \]
   • \[ V = 8 \times 5 \]
   • \[ V = 40 \]

Ответ: 40