Задание 5. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC меньшая боковая сторона AB = 7. Биссектрисы углов B и C пересекаются на основании AD. Найдите длину AD, если известно, что ∠D = 30°.

Пусть биссектрисы углов B и C пересекаются с основанием AD в точке P. Так как трапеция прямоугольная, AB перпендикулярна основаниям, поэтому ∠B = 90°.

1. Биссектриса прямого угла B образует с AB угол 45°. В прямоугольном треугольнике ABP получаем AP = AB = 7.

2. Высота трапеции равна AB = 7. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой CD и углом D = 30° следует, что горизонтальный сдвиг от C до D равен 7 / tan 30° = 7√3. Значит, BC = AD − 7√3.

3. Угол C смежный с углом B, поэтому ∠C = 90° + 30° = 120°? Нет: поскольку основания параллельны, ∠C и ∠D являются односторонними углами при боковой стороне CD, следовательно, ∠C = 150°. Единичные направления сторон из C — влево вдоль CB и вниз-вправо вдоль CD: (−1, 0) и (√3/2, −1/2). Направление биссектрисы C пропорционально их сумме (−1 + √3/2, −1/2), поэтому при снижении на 7 она смещается влево по горизонтали на 7(2 − √3).

4. Поэтому расстояние от проекции C на AD до P равно 7(2 − √3). С учётом горизонтального сдвига CD получаем AP = AD − 7√3 − 7(2 − √3) = AD − 14.

Так как AP = 7, имеем AD − 14 = 7, откуда AD = 21.

Ответ: 21.