Задание 5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) медианы \(CN\) и \(BK\) пересекаются в точке \(P\). Найдите периметр треугольника \(ABC\), если \(AB=BC=13\), \(PK=4\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому на медиане \(BK\): \(BP:PK=2:1\), а значит, \(BK=3\cdot PK=12\).

Так как \(AB=BC\), медиана \(BK\), проведённая к основанию \(AC\), является также высотой. В прямоугольном треугольнике \(ABK\): \(AK^2=AB^2-BK^2=13^2-12^2=25\), откуда \(AK=5\).

Поскольку \(K\) — середина основания, \(AC=2AK=10\). Тогда периметр равен \(13+13+10=36\).

Ответ: 36.