Задание 5. В таблице собраны данные о численности населения пяти крупнейших субъектов Российской Федерации: г. Москва, Московская область, Краснодарский край, г. Санкт-Петербург и Свердловская область на начало 2022 г. Описательная характеристика Среднее арифметическое Медиана Максимум Минимум 7,1 млн чел 5,7 млн чел. 12,6 млн чел. 4,3 млн чел. Ниже даны четыре диаграммы, показывающие долю численности населения каждого субъекта в их общей численности. Только одна из диаграмм верная. a) Укажите номер верной диаграммы. б) Найдите численность населения Свердловской области (млн чел.).

Решение:

Для определения верной диаграммы проанализируем данные таблицы и диаграмм.

а) Определение верной диаграммы:

Сначала оценим примерный порядок численности населения каждого субъекта. Среднее арифметическое равно 7,1 млн чел. Максимум - 12,6 млн чел. (вероятно, Москва), минимум - 4,3 млн чел. (вероятно, наименьший из пяти). Исходя из общего среднего, можно предположить, что большинство субъектов имеют численность около 7 млн человек.

Рассмотрим диаграммы:

• Диаграмма 1: Наибольший сектор (оранжевый) занимает около половины круга, что соответствует примерно 12,6 млн чел. (Москва). Следующий большой сектор (синий с узором) занимает около четверти круга (около 6-7 млн чел.). Остальные секторы (жёлтый, зелёный, фиолетовый) занимают примерно равные доли, каждая около 5-6% (примерно 3-3.5 млн чел.).
• Диаграмма 2: Наибольший сектор (оранжевый) занимает примерно 40% (около 5.5-6 млн чел.). Остальные секторы примерно равны (около 15% каждый, ~2.1 млн чел.).
• Диаграмма 3: Наибольший сектор (оранжевый) занимает около половины круга (12,6 млн чел.). Следующий большой сектор (синий с узором) занимает около 20% (около 2.8 млн чел.). Остальные секторы (жёлтый, зелёный, фиолетовый) имеют примерно одинаковые, небольшие доли (около 8-10% каждый, ~1.4-1.8 млн чел.).
• Диаграмма 4: Наибольший сектор (оранжевый) занимает около 40% (около 5.5-6 млн чел.). Следующий большой сектор (синий с узором) занимает около 30% (около 4.2 млн чел.). Остальные секторы (жёлтый, зелёный, фиолетовый) имеют примерно одинаковые, небольшие доли (около 8-10% каждый, ~1.4-1.8 млн чел.).

Наиболее правдоподобной кажется диаграмма, где есть один очень большой сектор (Москва, 12,6 млн чел.) и несколько других, близких по численности к среднему арифметическому (7,1 млн чел.), но меньше максимального. Диаграмма 1 имеет такой вид: самый большой сектор (оранжевый) ~12,6 млн чел., следующий по величине сектор (синий с узором) ~6-7 млн чел., и остальные три сектора (жёлтый, зелёный, фиолетовый) примерно по 4-5 млн чел. Это соответствует заданным характеристикам.

б) Численность населения Свердловской области:

Поскольку диаграмма 1 является наиболее верной, рассмотрим её. Мы предположили, что самый большой сектор (оранжевый) — это Москва (12,6 млн чел.). Следующий по величине сектор (синий с узором) занимает примерно 25-30% от общего числа. Если общее население около 7.1 * 5 = 35.5 млн чел., то 25-30% от 35.5 млн чел. это ~8.8-10.6 млн чел. Это не соответствует медиане (5.7 млн чел.) и минимуму (4.3 млн чел.).

Пересмотрим предположение. Возможно, самый большой сектор (оранжевый) — это не Москва, а другой субъект. Максимум 12,6 млн чел. — это самая большая численность. Если принять, что оранжевый сектор — это Москва (12,6 млн чел.), то его доля составляет примерно 12.6 / 35.5 ≈ 35%. На диаграмме 1 оранжевый сектор занимает чуть больше половины, что не соответствует 35%.

Давайте попробуем найти другую логику. Среднее арифметическое 7.1 млн чел. Медиана 5.7 млн чел. Минимум 4.3 млн чел. Максимум 12.6 млн чел.

Рассмотрим диаграмму 2. Оранжевый сектор ~40% (~5.6 млн чел.). Синий с узором ~20% (~2.8 млн чел.). Остальные ~10% (~1.4 млн чел.). Сумма ~5.6 + 2.8 + 3*1.4 = 12.6 млн чел. Это слишком мало.

Рассмотрим диаграмму 4. Оранжевый сектор ~40% (~5.6 млн чел.). Синий с узором ~30% (~4.2 млн чел.). Остальные ~10% (~1.4 млн чел.). Сумма ~5.6 + 4.2 + 3*1.4 = 14.2 млн чел. Тоже мало.

Вернемся к диаграмме 1. Оранжевый сектор ~50% (12.6 млн чел.). Синий с узором ~25% (6.3 млн чел.). Желтый, зелёный, фиолетовый ~8% каждый (2.0 млн чел.). Сумма ~12.6 + 6.3 + 3*2.0 = 24.9 млн чел. Это все еще мало.

Давайте предположим, что максимальное значение (12,6 млн чел.) — это Москва. Оранжевый сектор на диаграмме 1 примерно 50% круга. Это означает, что 50% от общей численности населения пяти субъектов составляет 12,6 млн чел. Тогда общая численность населения составила бы 12,6 * 2 = 25,2 млн чел. Это значение очень близко к рассчитанной сумме (24,9 млн чел.).

Если Москва — 12,6 млн чел., то Свердловская область (ищем наименьшее значение) должна быть одной из меньших долей. На диаграмме 1, наименьшие доли (жёлтый, зелёный, фиолетовый) составляют около 8% каждая. Если общая численность 25,2 млн чел., то 8% от 25,2 млн чел. = 2,016 млн чел. Это ниже минимального значения (4,3 млн чел.), что противоречит условию.

Попробуем иначе. Диаграммы показывают долю численности населения каждого субъекта в их ОБЩЕЙ численности. Значит, сумма всех секторов на верной диаграмме должна соответствовать общей численности населения пяти субъектов.

Максимум = 12,6 млн. Минимум = 4,3 млн. Медиана = 5,7 млн. Среднее арифметическое = 7,1 млн.

Если мы возьмём 5 субъектов с такими характеристиками, и предположим, что наибольшее значение (12.6 млн) — это Москва. Самое маленькое (4.3 млн) — это, например, Свердловская область. Тогда у нас остаётся 3 субъекта, у которых численность лежит между 4.3 и 12.6, и медиана которых — 5.7. Среднее арифметическое этих трёх должно быть таким, чтобы общее среднее стало 7.1.

Пусть пять численностей: 12.6, x1, x2, x3, 4.3. Медиана — 5.7, значит, одно из x должно быть 5.7. Пусть x1 = 5.7. Теперь у нас есть: 12.6, 5.7, x2, x3, 4.3. Среднее арифметическое = (12.6 + 5.7 + x2 + x3 + 4.3) / 5 = 7.1. (22.6 + x2 + x3) / 5 = 7.1. 22.6 + x2 + x3 = 35.5. x2 + x3 = 12.9. При этом x2 и x3 должны быть между 5.7 и 12.6 (и между 4.3 и 12.6). Например, 6.45 и 6.45. Или 5.7 и 7.2. Или 5.8 и 7.1. Или 6.0 и 6.9.

Так, пять численностей могут быть: 12.6, 6.9, 6.0, 5.7, 4.3. Сумма = 35.5. Среднее = 7.1. Медиана = 5.7. Макс = 12.6. Мин = 4.3.

Теперь посмотрим на диаграммы с этими значениями (12.6, 6.9, 6.0, 5.7, 4.3).

Диаграмма 1: Оранжевый (12.6), синий с узором (~6-7), остальные ~4-5. Это похоже на наши числа!

• Оранжевый: ~50% (12.6 млн).
• Синий с узором: ~25% (6.3 млн).
• Фиолетовый: ~10% (2.5 млн).
• Зелёный: ~10% (2.5 млн).
• Жёлтый: ~5% (1.25 млн).

Это не соответствует нашим числам (12.6, 6.9, 6.0, 5.7, 4.3).

Давайте предположим, что верная диаграмма — это диаграмма 1, и она изображает долю от общей численности 35.5 млн человек.

1. Москва = 12.6 млн. Доля: 12.6 / 35.5 ≈ 35.5%. На диаграмме 1 оранжевый сектор — это примерно 50%, что не подходит.

Проверим другой вариант. Возможно, максимальное значение (12.6 млн) — это не Москва, а Московская область, а Москва — ещё больше?

Вернемся к условию.