Задание №5. В трапеции \(MNCD\) (\(MD\parallel NC\)) угол \(MDN\) в два раза меньше угла \(MCN\). \(MD=12\), \(NC=MC=10\). Найдите площадь трапеции.

Поскольку \(NC=MC\), треугольник \(MCN\) равнобедренный, поэтому его углы при вершинах \(M\) и \(N\) равны.

Обозначим \(\angle MDN=\alpha\). По условию \(\angle MCN=2\alpha\), значит \(\angle MNC=2\alpha\). Так как \(MD\parallel NC\), угол между прямыми \(MD\) и \(DN\) равен углу между \(NC\) и \(ND\), то есть \(\angle MDN=\angle DNC=\alpha\).

Высота трапеции равна высоте треугольника \(MCN\), опущенной на основание \(NC\): \(h=MC\sin\angle MCN=10\sin 2\alpha\).

В треугольнике \(MDN\) горизонтальная проекция стороны \(DN\) равна \(MD+NC-MC\cos 2\alpha=22-10\cos 2\alpha\). Из \(\tan\alpha=h/(22-10\cos2\alpha)\) и \(h=10\sin2\alpha\) следует \(20\cos^2\alpha=22-10\cos2\alpha\), откуда \(\cos2\alpha=0.3\). Тогда \(h=10\sqrt{1-0.3^2}=\sqrt{91}\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{MD+NC}{2}h=\frac{12+10}{2}\sqrt{91}=11\sqrt{91}\).

Ответ: \(11\sqrt{91}\).