Задание 5. Вычислить значение выражения: $$\sqrt[3]{√5+2} - \sqrt[3]{√5-2}$$.

Решение:

Обозначим данное выражение через \( x \):

\( x = \sqrt[3]{√5+2} - \sqrt[3]{√5-2} \)

Возведём обе части в куб:

\[ x^3 = \left(\sqrt[3]{√5+2} - \sqrt[3]{√5-2}\right)^3 \]

Используем формулу куба разности: \( (a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) \).

\[ x^3 = (√5+2) - (√5-2) - 3\sqrt[3]{(√5+2)(√5-2)}(\sqrt[3]{√5+2} - \sqrt[3]{√5-2}) \]

Упростим выражения:

\[ x^3 = √5+2 - √5+2 - 3\sqrt[3]{(√5)^2 - 2^2}(x) \]

\[ x^3 = 4 - 3\sqrt[3]{5 - 4}(x) \]

\[ x^3 = 4 - 3\sqrt[3]{1}(x) \]

\[ x^3 = 4 - 3x \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

\[ x^3 + 3x - 4 = 0 \]

Подберём целый корень уравнения. Проверим делители числа -4: \( ±1, ±2, ±4 \).

Если \( x = 1 \): \( 1^3 + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \). Значит, \( x=1 \) является корнем.

Разделим многочлен \( x^3 + 3x - 4 \) на \( (x-1) \):

Получаем уравнение: \( (x-1)(x^2 + x + 4) = 0 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + x + 4 = 0 \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 \]

Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является \( x=1 \).

Ответ: 1