Задание 5. Вычислить значение выражения: x³ + 3x; x = \(\sqrt{5+2-\sqrt{5-2}}\)

Решение:

Задание 5. Вычислить значение выражения.

Сначала упростим значение \( x \).

\( x = \sqrt{5+2-\sqrt{5-2}} = \sqrt{7-\sqrt{3}} \)

Теперь вычислим \( x^3 + 3x \).

Для этого возведем \( x \) в куб:

\( x^3 = (\sqrt{7-\sqrt{3}})^3 = (7-\sqrt{3})\sqrt{7-\sqrt{3}} \)

Теперь подставим \( x \) и \( x^3 \) в выражение:

\( x^3 + 3x = (7-\sqrt{3})\sqrt{7-\sqrt{3}} + 3\sqrt{7-\sqrt{3}} \)

Вынесем \( \sqrt{7-\sqrt{3}} \) за скобки:

\( \sqrt{7-\sqrt{3}} (7-\sqrt{3} + 3) = \sqrt{7-\sqrt{3}} (10-\sqrt{3}) \)

К сожалению, дальнейшее упрощение этого выражения без дополнительных математических преобразований (например, использование формулы радикалов \( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} \) при определенных условиях) затруднительно и может привести к громоздким результатам, которые не являются типичными для школьных заданий такого рода. Вероятно, в условии задания была опечатка, или предполагается более глубокое знание методов упрощения радикалов.

Если предположить, что \( x = \sqrt{5+2} - \sqrt{5-2} = \sqrt{7} - \sqrt{3} \), то:

\( x^2 = (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21} \)

\( x^3 = x \cdot x^2 = (\sqrt{7} - \sqrt{3})(10 - 2\sqrt{21}) = 10\sqrt{7} - 2\sqrt{147} - 10\sqrt{3} + 2\sqrt{63} \)

\( = 10\sqrt{7} - 2\cdot 7\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 2\cdot 3\sqrt{7} = 10\sqrt{7} - 14\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 6\sqrt{7} = 16\sqrt{7} - 24\sqrt{3} \)

\( 3x = 3(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 3\sqrt{7} - 3\sqrt{3} \)

\( x^3 + 3x = (16\sqrt{7} - 24\sqrt{3}) + (3\sqrt{7} - 3\sqrt{3}) = 19\sqrt{7} - 27\sqrt{3} \)

Ответ: \( (10-\sqrt{3})\sqrt{7-\sqrt{3}} \) (при условии, что \( x = \sqrt{7-\sqrt{3}} \); результат может быть упрощён с использованием более сложных методов или при наличии опечатки в условии).