Задание 5 Правильную монету бросают четыре раза. Случайная величина Х -- число выпавших орлов. а) Составьте распределение случайной величины Х. б) Найдите вероятность Х ≤ 1. в) Найдите вероятность Х < 4. г) Найдите вероятность 1 < Х < 4.

Привет! Давай разберем эту задачку по теории вероятностей вместе. Тут речь идет о подбрасывании монетки, так что будет интересно!

Условие: Правильную монету бросают четыре раза. Случайная величина Х — это число выпавших орлов.

а) Составим распределение случайной величины Х.

Когда мы подбрасываем монету 4 раза, количество выпавших орлов может быть разным. Это и есть наша случайная величина Х. Возможные значения Х:

• 0 орлов (все 4 решки)
• 1 орёл
• 2 орла
• 3 орла
• 4 орла

Теперь посчитаем вероятность каждого из этих исходов. Всего возможных исходов при 4 бросках монеты будет $$2^4 = 16$$. Это мы можем найти по формуле $$C_n^k$$, где n — количество испытаний, k — количество успехов (в данном случае орлов).

• P(X=0): Выпало 0 орлов. Это значит, что все 4 раза выпали решки. Есть только 1 такой исход (РРРР). Вероятность: $$P(X=0) = C_4^0 / 16 = 1/16$$.
• P(X=1): Выпал 1 орёл. Это может быть ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО. Всего 4 исхода. Вероятность: $$P(X=1) = C_4^1 / 16 = 4/16$$.
• P(X=2): Выпало 2 орла. Например, ООРР, ОРОР, ОРРО, РООР, РОРО, РРОО. Всего 6 исходов. Вероятность: $$P(X=2) = C_4^2 / 16 = 6/16$$.
• P(X=3): Выпало 3 орла. Например, ОООР, ОРОО, РООО, ОооР. Всего 4 исхода. Вероятность: $$P(X=3) = C_4^3 / 16 = 4/16$$.
• P(X=4): Выпало 4 орла. Только 1 исход (ОООО). Вероятность: $$P(X=4) = C_4^4 / 16 = 1/16$$.

Таблица распределения вероятностей:

Проверка: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. $$1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 16/16 = 1$$. Всё верно!

б) Найдите вероятность Х ≤ 1.

Это значит, что нас интересуют случаи, когда выпало 0 орлов ИЛИ 1 орёл. Чтобы найти эту вероятность, нужно сложить вероятности этих двух событий:

$$ P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) $$

$$ P(X ≤ 1) = 1/16 + 4/16 = 5/16 $$

в) Найдите вероятность Х < 4.

Это значит, что нас интересуют случаи, когда выпало 0, 1, 2 ИЛИ 3 орла. Проще всего найти вероятность противоположного события (когда выпало 4 орла) и вычесть её из 1.

$$ P(X < 4) = 1 - P(X=4) $$

$$ P(X < 4) = 1 - 1/16 = 15/16 $$

Или можно сложить вероятности:

$$ P(X < 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) $$

$$ P(X < 4) = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 = 15/16 $$

г) Найдите вероятность 1 < Х < 4.

Это значит, что нас интересуют случаи, когда выпало 2 ИЛИ 3 орла.

$$ P(1 < X < 4) = P(X=2) + P(X=3) $$

$$ P(1 < X < 4) = 6/16 + 4/16 = 10/16 $$

Эту дробь можно сократить: $$10/16 = 5/8$$.

Итоговые ответы:

• а) Распределение вероятностей приведено в таблице выше.
• б) $$P(X ≤ 1) = 5/16$$
• в) $$P(X < 4) = 15/16$$
• г) $$P(1 < X < 4) = 10/16 = 5/8$$