ЗАДАНИЕ №5 При каких значениях х имеет не имеет смысла выражение sqrt((x-2)/(x^2 - 4x + 3)) ?

Решение:

Выражение не имеет смысла, когда выполняются следующие условия:

1. Знаменатель под корнем равен нулю (деление на ноль).
2. Выражение под корнем отрицательное (корень из отрицательного числа не существует в действительных числах).

Рассмотрим первое условие: знаменатель под корнем равен нулю.

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Таким образом, при $$x = 1$$ и $$x = 3$$ знаменатель равен нулю, и выражение не имеет смысла.

Теперь рассмотрим второе условие: выражение под корнем отрицательное.

\[ \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 3} < 0 \]

Мы уже нашли корни знаменателя: $$x = 1$$ и $$x = 3$$. Корень числителя: $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$.

Разделим числовую прямую на интервалы с помощью этих корней: $$(-∞, 1)$$, $$(1, 2)$$, $$(2, 3)$$, $$(3, +∞)$$.

Проверим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $$(–∞, 1)$$: Возьмем $$x = 0$$. Числитель: $$0 - 2 = -2$$ (отрицательный). Знаменатель: $$0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$$ (положительный). Дробь: $$-2/3$$ (отрицательная).
• Интервал $$(1, 2)$$: Возьмем $$x = 1.5$$. Числитель: $$1.5 - 2 = -0.5$$ (отрицательный). Знаменатель: $$(1.5)^2 - 4 \cdot 1.5 + 3 = 2.25 - 6 + 3 = -0.75$$ (отрицательный). Дробь: $$-0.5 / -0.75$$ (положительная).
• Интервал $$(2, 3)$$: Возьмем $$x = 2.5$$. Числитель: $$2.5 - 2 = 0.5$$ (положительный). Знаменатель: $$(2.5)^2 - 4 \cdot 2.5 + 3 = 6.25 - 10 + 3 = -0.75$$ (отрицательный). Дробь: $$0.5 / -0.75$$ (отрицательная).
• Интервал $$(3, +∞)$$: Возьмем $$x = 4$$. Числитель: $$4 - 2 = 2$$ (положительный). Знаменатель: $$4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$$ (положительный). Дробь: $$2/3$$ (положительная).

Таким образом, дробь отрицательна на интервалах $$(–∞, 1)$$ и $$(2, 3)$$.

Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю ($$x=1, x=3$$) или когда дробь под корнем отрицательна ($$x ∈ (–∞, 1) ext{ или } x ∈ (2, 3)$$).

Объединяя эти условия, получаем, что выражение не имеет смысла при $$x ∈ (–∞, 1] ext{ или } x ∈ (2, 3]$$.

Ответ: x ∈ (–∞; 1] ∪ (2; 3]