Задание 5 Решите способом сложения систему уравнений -x² + 3xy + 3y = -7, -2x² + 6xy - 10y = 2.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений вместе. Это задача по алгебре, класс 9.

Решение:

Чтобы решить эту систему методом сложения, нам нужно привести уравнения к такому виду, чтобы при сложении или вычитании одного уравнения из другого какая-то из переменных исчезла.

Дана система:

• 1) \[ -x^2 + 3xy + 3y = -7 \]
• 2) \[ -2x^2 + 6xy - 10y = 2 \]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2.

Сделаем это, чтобы коэффициенты при $$x^2$$ и $$xy$$ стали одинаковыми (или противоположными) во втором уравнении.

• \[ 2 imes (-x^2 + 3xy + 3y) = 2 imes (-7) \]
• \[ -2x^2 + 6xy + 6y = -14 \]

Теперь наша система выглядит так:

• 1') \[ -2x^2 + 6xy + 6y = -14 \]
• 2) \[ -2x^2 + 6xy - 10y = 2 \]

Шаг 2: Вычтем второе уравнение из первого (уравнение 1' минус уравнение 2).

Это делается для того, чтобы исключить члены с $$x^2$$ и $$xy$$, которые одинаковы в обоих уравнениях.

• \[ (-2x^2 + 6xy + 6y) - (-2x^2 + 6xy - 10y) = -14 - 2 \]
• \[ -2x^2 + 6xy + 6y + 2x^2 - 6xy + 10y = -16 \]

Сокращаем одинаковые члены с противоположными знаками:

• \[ ( -2x^2 + 2x^2 ) + ( 6xy - 6xy ) + ( 6y + 10y ) = -16 \]
• \[ 0 + 0 + 16y = -16 \]
• \[ 16y = -16 \]

Шаг 3: Найдем значение $$y$$.

• \[ y = \frac{-16}{16} \]
• \[ y = -1 \]

Шаг 4: Подставим найденное значение $$y$$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $$x$$.

Возьмем первое уравнение:

• \[ -x^2 + 3xy + 3y = -7 \]
• \[ -x^2 + 3x(-1) + 3(-1) = -7 \]
• \[ -x^2 - 3x - 3 = -7 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ -x^2 - 3x - 3 + 7 = 0 \]
• \[ -x^2 - 3x + 4 = 0 \]

Умножим все уравнение на -1, чтобы коэффициент при $$x^2$$ был положительным:

• \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение.

Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

Через дискриминант:

• $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$
• $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
• $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Через теорему Виета:

Сумма корней $$x_1 + x_2 = -3$$, произведение корней $$x_1 imes x_2 = -4$$. Легко подобрать корни: $$1$$ и $$-4$$.

Шаг 6: Запишем ответ.

У нас получилось два значения $$x$$ и одно значение $$y$$. Значит, система имеет два решения.

Ответ: (1; -1) и (-4; -1).