Задание 6 (1,5 балла) Одно плечо рычага в 4 раза длиннее другого. Чтобы равномерно поднимать груз массой 64 кг, подвешенный к коротко-му плечу рычага, к длинному плечу надо прикладывать силу 180 Н. Определите КПД рычага.

Решение:

1. Находим работу полезную (A_п):

   Полезная работа - это работа по подъему груза. Она вычисляется по формуле: \[ A_п = m \cdot g \cdot h \] Где:

   • m - масса груза (64 кг)
   • g - ускорение свободного падения (примем 10 м/с² для простоты расчетов, в задачах часто используют это значение, если не указано иное)
   • h - высота подъема груза (неизвестна, но мы можем выразить ее через работу силы)
   Так как нам неизвестна высота, но известна сила, с которой поднимают груз, мы можем использовать другую формулу для работы. Однако, для расчета КПД нам потребуется отношение полезной работы к затраченной. Давайте пока оставим как есть и перейдем к затраченной работе, а затем вернемся к полезной.

2. Находим работу затраченную (A_з):

   Затраченная работа - это работа, совершаемая силой, которую мы прикладываем к длинному плечу рычага. Она вычисляется по формуле: \[ A_з = F \cdot L \] Где:

   • F - приложенная сила (180 Н)
   • L - расстояние, на которое переместилась точка приложения силы.
   Из условия известно, что одно плечо рычага в 4 раза длиннее другого. Пусть длина короткого плеча будет l, а длина длинного плеча - 4l. Чтобы поднять груз на высоту h, сила F пройдет расстояние 4h (из-за рычага). Таким образом, для вычисления затраченной работы нам нужно знать, какое расстояние пройдет точка приложения силы.
   Важно: Для расчета КПД рычага, нам необходимо знать соотношение длин плеч, что нам дано. Пусть короткое плечо будет $$l_1$$ и длинное $$l_2$$. Тогда $$l_2 = 4l_1$$.
   По условию, груз массой 64 кг (вес $$P = mg = 64 \times 10 = 640$$ Н) поднимают, прикладывая силу $$F = 180$$ Н к длинному плечу.
   Нам нужно найти работу, совершенную при подъеме груза (полезная работа) и работу, совершенную при приложении силы (затраченная работа).
   Пусть груз поднимут на высоту h. Тогда полезная работа: $$A_п = P \times h = 640 \times h$$.
   Из условия про рычаг, если короткое плечо $$l_1$$, а длинное $$l_2 = 4l_1$$, то перемещение точки приложения силы на длинном плече $$S_2$$ и перемещение точки приложения силы на коротком плече (высота подъема груза) $$h$$ связаны соотношением: $$l_2 \times F = l_1 \times P$$, откуда $$S_2 = \frac{l_1 \times P}{l_2} = \frac{l_1 \times 640}{4l_1} = 160$$ Н. Это не совсем верно, так как $$F$$ - это приложенная сила, а $$P$$ - вес груза.
   Правильное рассуждение:
   По условию, плечо $$l_2 = 4l_1$$. Груз массой $$m=64$$ кг, его вес $$P = mg = 64 \times 10 = 640$$ Н.
   Сила, приложенная к длинному плечу $$F = 180$$ Н.
   Когда груз поднимается на высоту h (перемещение по короткому плечу), точка приложения силы на длинном плече пройдет расстояние S.
   Из закона рычага: $$P \times l_1 = F \times l_2$$. Отсюда: $$640 \times l_1 = 180 \times 4l_1$$. Это условие не выполняется. Значит, нам нужно рассчитать КПД, используя данные значения.
   Полезная работа (A_п) - это работа по подъему груза. Пусть груз поднимут на высоту h. Тогда $$A_п = P \times h = 640 \times h$$ (где $$P$$ - вес груза).
   Затраченная работа (A_з) - это работа, которую совершает приложенная сила $$F$$. Если груз поднимается на высоту h, то точка приложения силы на длинном плече пройдет расстояние S. Из подобия треугольников или закона рычага, отношение плеч обратно пропорционально отношению сил, а также обратно пропорционально отношению перемещений: $$\frac{l_2}{l_1} = \frac{P}{F} = \frac{S}{h}$$.
   У нас $$\frac{l_2}{l_1} = 4$$. Следовательно, $$\frac{S}{h} = 4$$, то есть $$S = 4h$$.
   Тогда затраченная работа: $$A_з = F \times S = 180 \times (4h) = 720h$$.

3. Находим КПД рычага (η):

   Коэффициент полезного действия (КПД) рычага определяется как отношение полезной работы к затраченной работе: \[ \eta = \frac{A_п}{A_з} \times 100\% \] Подставляем наши значения: \[ \eta = \frac{640 \times h}{720 \times h} \times 100\% \] h сокращается: \[ \eta = \frac{640}{720} \times 100\% \] \[ \eta = \frac{64}{72} \times 100\% \] Сокращаем дробь на 8: \[ \eta = \frac{8}{9} \times 100\% \] \[ \eta \approx 0.8889 \times 100\% \] \[ \eta \approx 88.89\% \]

Ответ: КПД рычага составляет приблизительно 88.9%.