Задание №6. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите высоту трапеции, если AF = 15, BF = 8.

Пусть высота трапеции равна h, а половина угла A — α. Поскольку основания трапеции параллельны, углы A и B, прилежащие к боковой стороне AB, в сумме составляют 180°, поэтому половина угла B равна 90° − α.

Опустим из F перпендикуляры к основаниям. Получатся прямоугольные треугольники, в которых высота выражается так:

\(h=AF\sin\alpha=15\sin\alpha\), а также \(h=BF\sin(90^\circ-\alpha)=8\cos\alpha\).

Приравниваем выражения для высоты: \(15\sin\alpha=8\cos\alpha\), откуда \(\tan\alpha=\frac{8}{15}\). По теореме Пифагора для треугольника с катетами 8 и 15 получаем гипотенузу 17, значит \(\sin\alpha=\frac{8}{17}\).

Тогда \(h=15\cdot\frac{8}{17}=\frac{120}{17}\).

Ответ: \(\frac{120}{17}\) (примерно 7,06).