Задание 6. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Задание 6. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Доказательство:

Дано:

• Треугольник ABC, AB = BC (равнобедренный).
• BD - биссектриса внешнего угла при вершине B.

Доказать: BD || AC.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠ BAC = ∠ BCA.
2. Внешний угол при вершине B равен сумме углов при основании: ∠ ABD (внешний) = ∠ BAC + ∠ BCA.
3. Так как BD - биссектриса внешнего угла при вершине B, то ∠ ABD = ∠ DBC.
4. Из этого следует, что ∠ ABD = ∠ BAC + ∠ BCA.
5. Поскольку ∠ BAC = ∠ BCA, то ∠ ABD = 2 ∠ BAC.
6. Так как BD - биссектриса внешнего угла, то ∠ DBC = ∠ ABD / 2 = ∠ BAC.
7. Таким образом, ∠ DBC = ∠ BAC.
8. Эти углы являются накрест лежащими при прямых BD и AC и секущей AB.
9. Так как накрест лежащие углы равны, то прямая BD параллельна прямой AC.

Что и требовалось доказать.