Ответ:

  1. В современной орфографии: радостным сердцем.
  2. Процесс называется падением редуцированных гласных: древние редуцированные ъ и ь в слабой позиции исчезли.
  3. В слове сердце есть орфограмма «непроизносимая согласная в корне»: буква д не произносится. В слове радостным такая орфограмма не возникла: согласные в сочетании ст произносятся.

Ответ: падение редуцированных гласных; в слове «сердце» орфограмма — непроизносимая согласная д.