Задание 6. На рисунке изображены графики функций видов f(x)=ax²+bx+c и g(x)=kx, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Задание 6.

На рисунке изображены графики квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c и линейной функции g(x) = kx, которые пересекаются в точках А и В. Требуется найти абсциссу точки В.

Анализируем предложенные варианты графиков:

1. Вариант 1:

   График функции g(x) проходит через начало координат, значит k ≠ 0.

   Точка А является точкой пересечения параболы и прямой. На графике видно, что точка А имеет координаты (0, 0). Это значит, что f(0) = 0. Для квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c, если f(0) = 0, то c = 0. Следовательно, f(x) = ax² + bx.

   Прямая g(x) = kx также проходит через точку А (0, 0), что соответствует данному уравнению.

   Точка В имеет координаты (1, 3). Эта точка принадлежит и прямой, и параболе.

   Для прямой g(x) = kx: подставляем координаты точки В (1, 3), получаем 3 = k * 1, отсюда k = 3. Уравнение прямой: g(x) = 3x.

   Для параболы f(x) = ax² + bx: подставляем координаты точки В (1, 3), получаем 3 = a*(1)² + b*1, то есть a + b = 3.

   На графике видно, что вершина параболы находится в точке (0, 0). Для параболы f(x) = ax² + bx, вершина находится в точке x = -b / (2a). Если вершина в x = 0, то -b / (2a) = 0, что возможно только если b = 0 (при условии, что a ≠ 0).

   Если b = 0, то из уравнения a + b = 3 следует, что a = 3. Таким образом, уравнение параболы f(x) = 3x².

   Проверим пересечение f(x) = 3x² и g(x) = 3x:

   3x² = 3x

   3x² - 3x = 0

   3x(x - 1) = 0

   x = 0 или x = 1.

   При x = 0, y = 3*0 = 0. Это точка А (0, 0).

   При x = 1, y = 3*1 = 3. Это точка В (1, 3).

   Таким образом, абсцисса точки В в этом случае равна 1.

2. Вариант 2:

   Точка А имеет координаты (1, 2). Эта точка принадлежит и параболе, и прямой.

   Для прямой g(x) = kx: подставляем координаты точки А (1, 2), получаем 2 = k * 1, отсюда k = 2. Уравнение прямой: g(x) = 2x.

   Для параболы f(x) = ax² + bx + c: подставляем координаты точки А (1, 2), получаем 2 = a*(1)² + b*1 + c, то есть a + b + c = 2.

   На графике видно, что точка пересечения с осью Y (точка c) находится на уровне 0. То есть f(0) = 0, что означает c = 0.

   Таким образом, f(x) = ax² + bx и a + b = 2.

   Точка В имеет координаты (2, 4). Эта точка также принадлежит прямой и параболе.

   Проверим, принадлежит ли точка В прямой g(x) = 2x: g(2) = 2*2 = 4. Да, принадлежит.

   Для параболы f(x) = ax² + bx: подставляем координаты точки В (2, 4), получаем 4 = a*(2)² + b*2, то есть 4a + 2b = 4, или 2a + b = 2.

   Имеем систему уравнений:

   a + b = 2

   2a + b = 2

   Вычитаем первое уравнение из второго: (2a + b) - (a + b) = 2 - 2, что дает a = 0. Но если a = 0, то функция не является квадратичной. Следовательно, этот вариант графика не подходит.

3. Вариант 3:

   Точка А имеет координаты (0, 0). Это значит c = 0, то есть f(x) = ax² + bx.

   Прямая g(x) = kx также проходит через А (0, 0).

   Точка В имеет координаты (3, 4). Эта точка принадлежит и параболе, и прямой.

   Для прямой g(x) = kx: подставляем координаты точки В (3, 4), получаем 4 = k * 3, отсюда k = 4/3. Уравнение прямой: g(x) = (4/3)x.

   Для параболы f(x) = ax² + bx: подставляем координаты точки В (3, 4), получаем 4 = a*(3)² + b*3, то есть 9a + 3b = 4.

   Вершина параболы находится в точке x = -b / (2a). На графике видно, что вершина находится примерно в x = 1.5 (или чуть больше). Это означает -b / (2a) > 0. Так как a на графике положительно (ветви параболы вверх), то b должно быть отрицательным.

   Уравнение параболы f(x) = ax² + bx. Точка А (0,0) подтверждает c=0. Если мы предположим, что на графике изображена функция y = f(x), то точка В имеет координаты (3, 4). На графике также указана функция y = g(x), которая проходит через точки (0, 0) и, судя по наклону, через (1, 1.5) или (2, 3). Это не соответствует g(x) = 4/3 x.

   Пересмотрим точку В. Если точка В лежит на параболе, и парабола проходит через (0,0), то f(x) = ax^2 + bx. Точка В имеет абсциссу 3. Координаты точки В (3, y_B). И она должна лежать на прямой g(x) = kx. Также на параболе есть точки (0, 0) и (3, y_B). Судя по графику, точка В имеет координаты (3, 4). Если так, то g(x) = kx проходит через (0,0) и (3,4), тогда k = 4/3. А f(x) = ax^2+bx проходит через (0,0) и (3,4), тогда 9a+3b=4. Вершина параболы находится левее, чем x = 1.5. Таким образом, -b/(2a) < 1.5. Этот вариант также не очень явный.

4. Вариант 4:

   Точка А имеет координаты (1, 0). Это означает, что f(1) = 0 и g(1) = 0. Так как g(x) = kx, то g(1) = k*1 = 0, что означает k = 0. Если k = 0, то g(x) = 0 (ось X). Но на графике прямая не совпадает с осью X, поэтому этот вариант не подходит.

   Давайте предположим, что точка А на графике 4 имеет координаты (1, y_A). И она лежит на прямой y=g(x) и параболе y=f(x). На графике 4, точка А также отмечена как пересечение с осью X. Если А это (1, 0), тогда k=0, как было сказано выше, не подходит.

   Перечитываем задание: "пересекающиеся в точках А и В". В варианте 4, точка А на оси X, и точка А на параболе. Если А на оси X, то y=0. На графике 4, точка А отмечена на оси X, и на параболе. Координаты А (1, 0). Это значит f(1)=0. Если А (1,0), и это точка пересечения с прямой g(x)=kx, то k*1 = 0, что означает k=0. Тогда g(x)=0, ось X. Но прямая на графике не ось X. Значит, точка А, которую мы видим на оси X, это одна из точек на параболе, где f(x)=0. И точка А, где пересекаются прямая и парабола, это другая точка.

   Давайте предположим, что точки А и В это точки пересечения прямой и параболы. В варианте 4:

   Одна точка пересечения (назовем ее А) имеет координаты (1, 3).

   Другая точка пересечения (назовем ее В) имеет координаты (4, 6). (Похоже, что прямая проходит через (0,0)` и `(1,3)` и `(4,6)`.

   Для прямой g(x) = kx: подставляем координаты точки А (1, 3), получаем 3 = k * 1, отсюда k = 3. Уравнение прямой: g(x) = 3x.

   Проверим, проходит ли прямая через точку В (4, 6): g(4) = 3 * 4 = 12. Не проходит. Значит, точки А и В не (1,3)` и `(4,6)`.

   Рассмотрим еще раз вариант 1:

   Точка А = (0, 0). Точка В = (1, 3).

   g(x) = 3x

   f(x) = 3x²

   Это полностью соответствует графику 1. Абсцисса точки В равна 1.

Проверка других вариантов:

В варианте 2, точка А = (1, 2). Тогда g(x) = 2x. Парабола проходит через (1, 2). На графике видно, что точка В имеет абсциссу 2, и ординату 4. Проверим g(2) = 2*2 = 4. То есть, точка В = (2, 4). Тогда f(x) = ax² + bx + c проходит через (1, 2) и (2, 4). На графике видно, что c=0. Значит f(x) = ax² + bx. a + b = 2 и 4a + 2b = 4 => 2a + b = 2. Вычитая первое из второго: a = 0. Это не квадратичная функция.

В варианте 3, точка А = (0, 0). Значит c=0. Прямая проходит через (0,0). Точка В имеет абсциссу 3. На графике видно, что В = (3, 4). Тогда g(x) = kx проходит через (3,4) => k = 4/3. f(x) = ax² + bx проходит через (3,4) => 9a + 3b = 4. Вершина параболы находится левее x=1.5. Это возможно. Но точка А на графике 3 это (0,0). А вот точка В на графике 3 имеет абсциссу 3, и ординату 4. Соответствует ли это параболе? На графике 3, точка В = (3, 4). Прямая g(x) = 4/3 x. Парабола f(x) = ax^2 + bx. 9a+3b=4. Вершина параболы x_v = -b/(2a). На графике 3, вершина параболы находится приблизительно в x=1.5, y=-0.7. Если x_v = 1.5, то -b/(2a) = 1.5 => b = -3a. Подставляем в 9a + 3b = 4: 9a + 3(-3a) = 4 => 9a - 9a = 4 => 0 = 4. Это противоречие. Значит, вариант 3 не подходит.

В варианте 4, точка А = (1, 0). Это точка пересечения параболы с осью X. Если А это точка пересечения прямой и параболы, то g(1)=0, значит k=0, что невозможно.

Единственный вариант, который полностью соответствует условиям задачи и графическому представлению - это вариант 1.

Ответ: 1