Задание №6. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отметили соответственно точки R, M, F и N так, что MN ⟂ RF. Найдите длину отрезка RF, если AB = 4, MN = 5.

Обозначим координаты вершин квадрата: A(0; 0), B(4; 0), C(4; 4), D(0; 4). Пусть R = (r; 0), M = (4; m), F = (f; 4), N = (0; n).

Векторы MN = (−4; n − m) и RF = (f − r; 4). Так как MN ⟂ RF, их скалярное произведение равно нулю:

−4(f − r) + 4(n − m) = 0, откуда f − r = n − m.

Тогда квадраты длин равны:

RF² = (f − r)² + 4² = (n − m)² + 4² = MN².

Следовательно, RF = MN. По условию MN = 5.

Ответ: RF = 5.