Задание № 6. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и N так, что ∠AMC = ∠CNA. 1. Является ли четырёхугольник AMCN параллелограммом? Почему? 2. Найдите длину отрезка AN, если BC = 42, BM = 13.

1. Да. Поскольку BC ∥ AD, а точки M и C лежат на BC, точки A и N — на AD, получаем MC ∥ AN. Условие ∠AMC = ∠CNA означает равенство накрест лежащих углов при прямых AM и CN и секущей MCN, следовательно, AM ∥ CN. У четырёхугольника AMCN обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому он является параллелограммом.

2. В параллелограмме AMCN противоположные стороны равны: AN = MC. Так как M лежит между B и C, то MC = BC − BM = 42 − 13 = 29.

Ответ: 1) да, по признаку параллелограмма; 2) AN = 29.