Задание 6. Найдите наибольшее значение выражения 8 – x² – 16x и значение переменной, при котором оно достигается.

Решение:

Нам нужно найти наибольшее значение выражения \( 8 - x^2 - 16x \). Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Для нахождения вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) используется формула \( x_v = -\frac{b}{2a} \).

В нашем случае \( a = -1 \), \( b = -16 \), \( c = 8 \).

1. Найдём значение \( x \), при котором достигается наибольшее значение выражения: \[ x = -\frac{-16}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-16}{-2} = -8 \]
2. Подставим найденное значение \( x = -8 \) в исходное выражение, чтобы найти наибольшее значение: \[ 8 - (-8)^2 - 16 \cdot (-8) = 8 - 64 + 128 = 72 \]

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 72 и достигается при \( x = -8 \).

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 72, оно достигается при x = -8.