Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел $a\ge b\ne c$ такие, что $a+b+c=306$ и $a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел $a\ge b\ne c$ такие, что $a+b+c=306$ и…$ Фото задания

Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел $a\ge b\ne c$ такие, что $a+b+c=306$ и $a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b$.

Accepted Answer

Приравняем выражения попарно:

$a^2+b^2+c=b^2+c^2+a$, поэтому $(a-c)(a+c-1)=0$. Так как условие требует $b\ne c$, но не запрещает равенство $a=c$, этот случай рассмотрим отдельно.

Также из равенства второго и третьего выражений получаем $(b-a)(b+a-1)=0$.

Случай 1: $a=c$. Из $a+b+c=306$ следует $b+2a=306$. Равенство второго и третьего выражений даёт $(b-a)(b+a-1)=0$. Если $b=a$, то все числа равны 102, что противоречит $b\ne c$. Если $b+a=1$, то совместно с $b+2a=306$ получаем $a=305$, $b=-304$. Но тогда $a\ge b$ выполняется, а $b\ne c"); эта тройка допустима: \((305,-304,305)$.

Случай 2: $a\ne c$. Тогда из первого разложения $a+c=1$. Поскольку сумма равна 306, имеем $b=305$. Из $(b-a)(b+a-1)=0$: первый множитель не равен нулю, иначе $a=305$, что вместе с $a+c=1$ даёт $c=-304$ и нарушает $a\ge b$. Поэтому $b+a=1$, откуда $a=-304$, $c=305$, что также нарушает $a\ge b$.

Следовательно, единственная тройка: $(a,b,c)=(305,-304,305)$.

Ответ: $(305,-304,305)$.

Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел \(a\ge b\ne c\) такие, что \(a+b+c=306\) и \(a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b\).

Ответ: