Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Задание 6. Постройте график функции и напишите основные свойства функции: \(y=\log_2(3x+4)\).Фото задания

Ответ:

Рассмотрим функцию \(y=\log_2(3x+4)\).

  1. Область определения: аргумент логарифма должен быть положительным:
    \(3x+4>0\), откуда \(x>-\frac{4}{3}\).
    Следовательно, \(D(y)=\left(-\frac{4}{3};+\infty\right)\).
  2. Область значений: \(E(y)=(-\infty;+\infty)\).
  3. Вертикальная асимптота: \(x=-\frac{4}{3}\).
  4. Монотонность: так как основание логарифма \(2>1\), а выражение \(3x+4\) возрастает, функция возрастает на всей области определения.
  5. Нуль функции:
    \(\log_2(3x+4)=0\);
    \(3x+4=1\);
    \(x=-1\).
    Точка пересечения с осью \(Ox\): \((-1;0)\).
  6. Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\):
    \(y=\log_2 4=2\).
    Точка: \((0;2)\).
  7. Знак функции: \(y<0\) при \(-\frac{4}{3}<x<-1\); \(y=0\) при \(x=-1\); \(y>0\) при \(x>-1\).

Для построения удобно использовать точки:

\((-\frac{13}{12};-2)\), \((-\frac{5}{4};-1)\), \((-1;0)\), \((0;2)\), \((\frac{4}{3};3)\).

Ответ: функция определена на \(\left(-\frac{4}{3};+\infty\right)\), принимает все действительные значения, возрастает, имеет вертикальную асимптоту \(x=-\frac{4}{3}\) и пересекает оси координат в точках \((-1;0)\) и \((0;2)\).