Задание 6. Представьте выражение в виде рациональной дроби: \(\frac{3}{1-a}+\frac{3}{1+a}+\frac{6}{1+a^2}+\frac{12}{1+a^4}+\frac{24}{1+a^8}+\frac{48}{1+a^{16}}\).

Используем тождество \(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{2}{1-x^2}\). Первые два слагаемых дают \(\frac{3}{1-a}+\frac{3}{1+a}=\frac{6}{1-a^2}\).

Тогда исходное выражение равно \(\frac{6}{1-a^2}+\frac{6}{1+a^2}+\frac{12}{1+a^4}+\frac{24}{1+a^8}+\frac{48}{1+a^{16}}\). Применяя то же тождество последовательно, получаем \(\frac{12}{1-a^4}+\frac{12}{1+a^4}+\frac{24}{1+a^8}+\frac{48}{1+a^{16}}\), затем \(\frac{24}{1-a^8}+\frac{24}{1+a^8}+\frac{48}{1+a^{16}}\), затем \(\frac{48}{1-a^{16}}+\frac{48}{1+a^{16}}=\frac{96}{1-a^{32}}\).

Ответ: \(\frac{96}{1-a^{32}}\).