Задание 6. Решите системы уравнений: 1) \(\begin{cases}x+y=7,\\ \lg x+\lg y=1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x+y=34,\\ \log_2 x+\log_2 y=6.\end{cases}\)

1) По свойству логарифмов и с учётом условий \(x>0\), \(y>0\):

\(\lg x+\lg y=\lg(xy)=1\), поэтому \(xy=10\).

Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 7 и произведение 10. Составим квадратное уравнение, корнями которого они являются: \(t^2-7t+10=0\).

\(t^2-7t+10=(t-2)(t-5)=0\), значит, \(t=2\) или \(t=5\).

Следовательно, \((x;y)=(2;5)\) или \((5;2)\).

2) По свойству логарифмов, при \(x>0\), \(y>0\):

\(\log_2 x+\log_2 y=\log_2(xy)=6\), поэтому \(xy=2^6=64\).

Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 34 и произведение 64. Составим квадратное уравнение: \(t^2-34t+64=0\).

\(D=34^2-4\cdot64=900\), \(\sqrt D=30\). Тогда \(t=\frac{34\pm30}{2}\), откуда \(t=2\) или \(t=32\).

Следовательно, \((x;y)=(2;32)\) или \((32;2)\).

Ответ: 1) \((2;5), (5;2)\); 2) \((2;32), (32;2)\).