Задание 6. Решите уравнения: 1) (x+4)⁴ − 6(x+4)² − 7 = 0; 2) (x−2)⁴ − (x−2)² − 6 = 0; 3) (x+3)⁴ − 2(x+3)² − 15 = 0; 4) (x−4)⁴ − 4(x−4)² − 21 = 0; 5) (x+2)⁴ − 4(x+2)² − 5 = 0; 6) (x−3)⁴ − 3(x−3)² − 10 = 0; 7) (x+1)⁴ + (x+1)² − 6 = 0; 8) (x−2)⁴ + (x−2)² − 12 = 0.

В каждом уравнении сделаем замену: квадрат выражения в скобках обозначим через \(t\). Так как \(t\geq 0\), отрицательные корни полученного квадратного уравнения не подходят.

1. Пусть \(t=(x+4)^2\). Тогда \(t^2-6t-7=0\), откуда \(t=7\) или \(t=-1\). Оставляем \((x+4)^2=7\), поэтому \(x=-4\pm\sqrt7\).
2. Пусть \(t=(x-2)^2\). Тогда \(t^2-t-6=0\), откуда \(t=3\) или \(t=-2\). Значит, \((x-2)^2=3\), поэтому \(x=2\pm\sqrt3\).
3. Пусть \(t=(x+3)^2\). Тогда \(t^2-2t-15=0\), откуда \(t=5\) или \(t=-3\). Значит, \((x+3)^2=5\), поэтому \(x=-3\pm\sqrt5\).
4. Пусть \(t=(x-4)^2\). Тогда \(t^2-4t-21=0\), откуда \(t=7\) или \(t=-3\). Значит, \((x-4)^2=7\), поэтому \(x=4\pm\sqrt7\).
5. Пусть \(t=(x+2)^2\). Тогда \(t^2-4t-5=0\), откуда \(t=5\) или \(t=-1\). Значит, \((x+2)^2=5\), поэтому \(x=-2\pm\sqrt5\).
6. Пусть \(t=(x-3)^2\). Тогда \(t^2-3t-10=0\), откуда \(t=5\) или \(t=-2\). Значит, \((x-3)^2=5\), поэтому \(x=3\pm\sqrt5\).
7. Пусть \(t=(x+1)^2\). Тогда \(t^2+t-6=0\), откуда \(t=2\) или \(t=-3\). Значит, \((x+1)^2=2\), поэтому \(x=-1\pm\sqrt2\).
8. Пусть \(t=(x-2)^2\). Тогда \(t^2+t-12=0\), откуда \(t=3\) или \(t=-4\). Значит, \((x-2)^2=3\), поэтому \(x=2\pm\sqrt3\).

Ответ: 1) \(-4\pm\sqrt7\); 2) \(2\pm\sqrt3\); 3) \(-3\pm\sqrt5\); 4) \(4\pm\sqrt7\); 5) \(-2\pm\sqrt5\); 6) \(3\pm\sqrt5\); 7) \(-1\pm\sqrt2\); 8) \(2\pm\sqrt3\).