Задание 6. В равностороннем треугольнике \(ABC\) медианы пересекаются в точке \(P\). Найдите площадь треугольника \(APC\), если \(AB=4\sqrt{3}\).

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому \(AC=4\sqrt{3}\). Его высота равна

\[h=\frac{AC\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=6.\]

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому расстояние от \(P\) до основания \(AC\) составляет треть высоты: \(h_P=6/3=2\).

Треугольники \(APC\) и \(ABC\) имеют общее основание \(AC\), а высота первого равна трети высоты второго. Следовательно,

\[S_{APC}=\frac{AC\cdot h_P}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{2}=4\sqrt{3}.\]

Ответ: \(4\sqrt{3}\).