Задание 6. В строку записали 27 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Пусть числа в строке — a₁, …, a₂₇. Вычитая суммы соседних групп из пяти чисел, получаем a_i = a_i+5. Значит, числа повторяются с периодом 5.

1. Сумма первых пяти чисел равна 8.
2. В сумме всех 27 чисел первые пять чисел повторяются пять раз, а числа a₁ и a₂ встречаются ещё по одному разу. Поэтому 43 = 5 · 8 + a₁ + a₂, откуда a₁ + a₂ = 3.
3. Так как числа натуральные, первые два числа — либо 1 и 2, либо 2 и 1.
4. Оставшиеся три числа в первых пяти позициях должны быть положительными и в сумме давать 5. Таких упорядоченных троек 6: это перестановки чисел 1, 1 и 3 либо 1, 2 и 2.
5. Каждая из 6 троек подходит для каждого из 2 порядков первых двух чисел. Периодичность однозначно задаёт всю строку.

Ответ: 12 расстановок.