Задание 6. В строку записаны 27 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Обозначим числа строки через a₁, a₂, …, a₂₇.

1. Вычтем суммы двух соседних пятёрок. Так как обе суммы равны 8, получаем a_i = a_i+5. Следовательно, числа повторяются с периодом 5.

2. Пусть сумма первых пяти чисел равна 8. Среди 27 чисел первые пять повторяются пять раз, а ещё остаются первые два числа периода. Поэтому сумма всех чисел равна 5 · 8 + a₁ + a₂. По условию она равна 43, значит, a₁ + a₂ = 3.

3. Натуральные числа a₁ и a₂ могут быть равны 1 и 2 в любом порядке — два варианта. Три оставшихся числа периода положительны, а их сумма равна 5. Число упорядоченных троек положительных чисел с суммой 5 равно 6.

4. Каждая такая пятёрка задаёт ровно одну строку из 27 чисел, поскольку далее пятёрка повторяется.

Итого: 2 · 6 = 12.

Ответ: 12 расстановок.