Задание 6. В урне лежат шары — 15 белых и 10 чёрных. В урну положили два каких-то шара (этих цветов). Затем из урны наугад вынули один шар. Шар оказался чёрным. а) Найдите вероятность того, что в урну положили шары одного цвета: P(H₁|A) + P(H₂|A). б) Найдите вероятность того, что в урну положили хотя бы один белый шар: P(H₁|A) + P(H₃|A).

В условии не указано, как именно выбирали два добавленных шара. Для расчёта примем стандартное предположение: их случайно выбрали из исходных 25 шаров без возвращения. Обозначим: H₁ — добавили два белых, H₂ — два чёрных, H₃ — один белый и один чёрный; A — вынутый шар оказался чёрным.

Вероятности гипотез до наблюдения:

P(H₁) = C(15, 2) / C(25, 2) = 7/20; P(H₂) = C(10, 2) / C(25, 2) = 3/20; P(H₃) = 15·10 / C(25, 2) = 1/2.

Вероятности вынуть чёрный шар при каждой гипотезе:

P(A|H₁) = 10/27; P(A|H₂) = 12/27; P(A|H₃) = 11/27.

По формуле Байеса: P(H₁|A) = 35/108, P(H₂|A) = 18/108, P(H₃|A) = 55/108.

а) Вероятность, что добавили шары одного цвета: 35/108 + 18/108 = 53/108.

б) Вероятность, что добавили хотя бы один белый шар: 35/108 + 55/108 = 5/6.

Ответ: а) 53/108; б) 5/6 — при предположении, что добавленные шары случайно выбрали из исходной урны.