Задание 6. Вариант 1. Вася взял три различных натуральных числа а, b и с и написал на доске семь чисел: a, b, c, a+b, b+c, c+a, a+b+c. Какое наибольшее количество простых чисел могло быть среди них?

Решение:

Пусть \( a, b, c \) — три различных натуральных числа. На доске написаны следующие семь чисел: \( a, b, c, a+b, b+c, c+a, a+b+c \).

Нам нужно найти наибольшее возможное количество простых чисел среди этих семи чисел.

Рассмотрим пример:

1. Возьмём \( a = 1, b = 2, c = 4 \). Числа на доске: \( 1, 2, 4, 1+2=3, 2+4=6, 4+1=5, 1+2+4=7 \). Простые числа: \( 2, 3, 5, 7 \) — всего 4 простых числа. (1 не является простым числом).
2. Возьмём \( a = 1, b = 2, c = 6 \). Числа на доске: \( 1, 2, 6, 1+2=3, 2+6=8, 6+1=7, 1+2+6=9 \). Простые числа: \( 2, 3, 7 \) — всего 3 простых числа.
3. Возьмём \( a = 2, b = 3, c = 4 \). Числа на доске: \( 2, 3, 4, 2+3=5, 3+4=7, 4+2=6, 2+3+4=9 \). Простые числа: \( 2, 3, 5, 7 \) — всего 4 простых числа.
4. Возьмём \( a = 1, b = 4, c = 6 \). Числа на доске: \( 1, 4, 6, 1+4=5, 4+6=10, 6+1=7, 1+4+6=11 \). Простые числа: \( 5, 7, 11 \) — всего 3 простых числа.
5. Возьмём \( a = 2, b = 5, c = 6 \). Числа на доске: \( 2, 5, 6, 2+5=7, 5+6=11, 6+2=8, 2+5+6=13 \). Простые числа: \( 2, 5, 7, 11, 13 \) — всего 5 простых чисел.
6. Возьмём \( a = 1, b = 2, c = 3 \). Числа на доске: \( 1, 2, 3, 1+2=3, 2+3=5, 3+1=4, 1+2+3=6 \). Простые числа: \( 2, 3, 5 \) — всего 3 простых числа.
7. Возьмём \( a = 3, b = 5, c = 8 \). Числа на доске: \( 3, 5, 8, 3+5=8, 5+8=13, 8+3=11, 3+5+8=16 \). Простые числа: \( 3, 5, 11, 13 \) — всего 4 простых числа.
8. Рассмотрим случай, когда \( a = 1 \). Тогда числа: \( 1, b, c, 1+b, b+c, c+1, 1+b+c \).

Чтобы максимизировать количество простых чисел, мы должны стараться, чтобы сами \( a, b, c \) были простыми, а также их суммы.

Если \( a = 2, b = 3, c = 5 \), то числа: \( 2, 3, 5, 5, 8, 7, 10 \). Простые: \( 2, 3, 5, 7 \). Всего 4.

Если \( a = 1, b = 2, c = 4 \), то числа: \( 1, 2, 4, 3, 6, 5, 7 \). Простые: \( 2, 3, 5, 7 \). Всего 4.

Если \( a = 2, b = 5, c = 6 \), то числа: \( 2, 5, 6, 7, 11, 8, 13 \). Простые: \( 2, 5, 7, 11, 13 \). Всего 5.

Если \( a = 1, b = 4, c = 10 \). Числа: \( 1, 4, 10, 5, 14, 11, 15 \). Простые: \( 5, 11 \). Всего 2.

Попробуем найти набор, где будет 6 простых чисел. Это возможно, если \( a, b, c \) — простые, и \( a+b, b+c, c+a \) — простые, и \( a+b+c \) — простое.

Если \( a = 2 \), то \( a \) — чётное. Если \( b \) и \( c \) — нечётные простые, то \( a+b \) — нечётное, \( b+c \) — чётное (больше 2, значит, не простое), \( c+a \) — нечётное, \( a+b+c \) — нечётное.

Следовательно, если \( a = 2 \), то \( b+c \) не может быть простым числом (кроме случая \( b=0 \) или \( c=0 \), но числа натуральные).

Значит, одно из чисел \( a, b, c \) должно быть 1, чтобы избежать чётных сумм.

Пусть \( a = 1 \). Тогда числа: \( 1, b, c, 1+b, b+c, c+1, 1+b+c \).

Если \( b = 2 \), \( c = 3 \), то: \( 1, 2, 3, 3, 5, 4, 6 \). Простые: \( 2, 3, 5 \). Всего 3.

Если \( b = 2 \), \( c = 5 \), то: \( 1, 2, 5, 3, 7, 6, 8 \). Простые: \( 2, 5, 3, 7 \). Всего 4.

Если \( b = 2 \), \( c = 4 \), то: \( 1, 2, 4, 3, 6, 5, 7 \). Простые: \( 2, 3, 5, 7 \). Всего 4.

Если \( b = 4 \), \( c = 6 \), то: \( 1, 4, 6, 5, 10, 7, 11 \). Простые: \( 5, 7, 11 \). Всего 3.

Посмотрим на пример \( a = 2, b = 5, c = 6 \), который дал 5 простых чисел: \( 2, 5, 6, 7, 11, 8, 13 \). Простые: \( 2, 5, 7, 11, 13 \).

Возможно ли 6 простых чисел?

Если \( a, b, c \) — все нечётные, то \( a+b \) — чётное, \( b+c \) — чётное, \( c+a \) — чётное. Эти суммы будут простыми только если равны 2. Но \( a, b, c \) — различные натуральные, поэтому \( a+b \ge 1+3=4 \).

Значит, как минимум 3 числа из \( a+b, b+c, c+a \) будут составными (если \( a,b,c \) нечётные).

Следовательно, одно из чисел \( a, b, c \) должно быть чётным. Пусть \( a = 2 \).

Тогда числа: \( 2, b, c, 2+b, b+c, c+2, 2+b+c \).

Чтобы получить 5 простых чисел, как в примере \( a=2, b=5, c=6 \), мы имеем: \( 2 \) (простое), \( 5 \) (простое), \( 6 \) (составное), \( 2+5=7 \) (простое), \( 5+6=11 \) (простое), \( 6+2=8 \) (составное), \( 2+5+6=13 \) (простое).

5 простых чисел: 2, 5, 7, 11, 13.

Можем ли мы получить 6 простых чисел?

Пусть \( a=1, b=2, c=4 \). Числа: \( 1, 2, 4, 3, 6, 5, 7 \). Простые: \( 2, 3, 5, 7 \) (4).

Проверим возможность 6 простых чисел. Для этого нужно, чтобы \( a, b, c \) были простыми, а суммы \( a+b, b+c, c+a, a+b+c \) были простыми. Это невозможно, если одно из чисел \( a,b,c \) равно 2, так как сумма двух нечётных простых с 2 будет нечётной, а сумма двух нечётных будет чётной и больше 2. Если \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=5 \), то \( 2, 3, 5, 5, 8, 7, 10 \) (4 простых).

Если \( a=1 \), \( b=2 \), \( c=6 \). \( 1, 2, 6, 3, 8, 7, 9 \). Простые: \( 2, 3, 7 \) (3).

Максимальное количество простых чисел, которое мы нашли, это 5.

Пример: \( a=2, b=5, c=6 \). Числа: \( 2, 5, 6, 7, 11, 8, 13 \). Простые: \( 2, 5, 7, 11, 13 \). Всего 5.

Еще пример: \( a=3, b=4, c=7 \). Числа: \( 3, 4, 7, 7, 11, 10, 14 \). Простые: \( 3, 7, 11 \). Всего 3.

Рассмотрим ещё пример: \( a = 1, b = 2, c = 10 \). Числа: \( 1, 2, 10, 3, 12, 11, 13 \). Простые: \( 2, 3, 11, 13 \). Всего 4.

Рассмотрим \( a=1, b=6, c=10 \). Числа: \( 1, 6, 10, 7, 16, 11, 17 \). Простые: \( 7, 11, 17 \). Всего 3.

Возможно ли 6 простых чисел?

Если \( a, b, c \) — нечетные, то \( a+b, b+c, c+a \) — четные и больше 2, значит, составные.

Если одно из них 2, например \( a=2 \). Тогда \( b+c \) должно быть простым. Если \( b, c \) нечетные, то \( b+c \) — четное, больше 2, составное.

Значит, либо \( b \) или \( c \) должно быть 1. Но \( a, b, c \) — различные натуральные числа. Значит, если \( a=2 \), то \( b \) или \( c \) не может быть 1.

Значит, одно из чисел \( a, b, c \) не может быть 2, если мы хотим, чтобы \( b+c \) было простым. Или \( b+c \) не будет простым.

Следовательно, максимум 5 простых чисел. Например, \( a=2, b=5, c=6 \).

Ответ: 5.