Задание 61. Дано: ∠ACB = 90°, ∠B = 60°, BC = 6 см. Найдите AD. По рисунку CD ⟂ AB, точка D лежит на AB.

В треугольнике BCD: \(\angle CDB=90^\circ\), \(\angle CBD=60^\circ\), поэтому \(\angle BCD=30^\circ\).

Сторона \(BC=6\) см лежит напротив угла \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, поэтому \(BD=3\) см.

В треугольнике ACD: \(\angle ACD=90^\circ\), а \(\angle A=30^\circ\), значит \(\angle ADC=60^\circ\). Следовательно, \(\triangle ACD\) также является прямоугольным треугольником с углом \(30^\circ\), и его гипотенуза \(AC\) вдвое больше катета \(CD\).

Из треугольника BCD: \(CD=BC\cdot\cos60^\circ=6\cdot\frac12=3\) см. Тогда \(AD=CD\cdot\sqrt3=3\sqrt3\) см.

Ответ: \(AD=3\sqrt3\) см.