Задание 67. Заполните пропуски в таблице.

Решение:

Задание 67 предлагает заполнить пропуски в таблице, используя геометрические свойства фигур, изображенных слева.

Первая группа изображений (1-3)

В этих заданиях используются свойства хорд и радиусов в окружности. Для решения применяются теоремы о пересекающихся хордах, секущих и касательных.

• 1) Дано: $$x=3$$, $$p=4$$, $$q=6$$. Нужно найти $$y$$. По теореме о пересекающихся хордах: $$x \times y = p \times q$$. Тогда $$3 \times y = 4 \times 6$$, $$3y = 24$$, $$y=8$$.
• 2) Дано: $$y=4$$, $$p=5\[0.5ex]\sqrt{2}\]$$, $$q=5\[0.5ex]\sqrt{2}\]$$. Нужно найти $$x$$. По теореме о пересекающихся хордах: $$x \times y = p \times q$$. Тогда $$x \times 4 = (5\[0.5ex]\sqrt{2}\]) \times (5\[0.5ex]\sqrt{2}\]) = 25 \times 2 = 50$$. $$4x=50$$, $$x=12.5$$.
• 3) Дано: $$x=3\[0.5ex]\sqrt{3}\]$$, $$y=6$$, $$q=9$$. Нужно найти $$p$$. По теореме о пересекающихся хордах: $$x \times y = p \times q$$. Тогда $$3\[0.5ex]\sqrt{3}\] \times 6 = p \times 9$$. $$18\[0.5ex]\sqrt{3}\] = 9p$$, $$p = \frac{18\[0.5ex]\sqrt{3}\]}{9} = 2\[0.5ex]\sqrt{3}\]$$.

Вторая группа изображений (4-7)

Здесь используются свойства секущих, проведенных из одной точки к окружности.

• 4) Дано: $$x=5$$, $$y=?$$, $$p=4$$, $$q=6$$. По теореме о секущих: $$x \times (x+y) = p \times (p+q)$$. Тогда $$5 \times (5+y) = 4 \times (4+6)$$. $$25+5y = 4 \times 10 = 40$$. $$5y = 40-25=15$$. $$y=3$$.
• 5) Дано: $$x=4$$, $$y=8$$, $$p=?$$, $$q=2$$. По теореме о секущих: $$x \times (x+y) = p \times (p+q)$$. Тогда $$4 \times (4+8) = p \times (p+2)$$. $$4 \times 12 = 48$$. $$p^2+2p = 48$$. $$p^2+2p-48=0$$. Дискриминант $$D=2^2 - 4(1)(-48) = 4+192=196$$. $$p = \frac{-2 \[0.5ex]\pm\ \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \[0.5ex]\pm\ 14}{2}$$. Так как $$p>0$$, то $$p = \frac{-2+14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$.
• 6) Дано: $$x=6$$, $$y=?$$, $$p=7$$, $$q=8$$. По теореме о секущих: $$x \times (x+y) = p \times (p+q)$$. Тогда $$6 \times (6+y) = 7 \times (7+8)$$. $$36+6y = 7 \times 15 = 105$$. $$6y = 105-36=69$$. $$y = \frac{69}{6} = 11.5$$.
• 7) Дано: $$x=8$$, $$y=7$$, $$p=?$$, $$q=14$$. По теореме о секущих: $$x \times (x+y) = p \times (p+q)$$. Тогда $$8 \times (8+7) = p \times (p+14)$$. $$8 \times 15 = 120$$. $$p^2+14p = 120$$. $$p^2+14p-120=0$$. Дискриминант $$D=14^2 - 4(1)(-120) = 196+480=676$$. $$p = \frac{-14 \[0.5ex]\pm\ \sqrt{676}}{2} = \frac{-14 \[0.5ex]\pm\ 26}{2}$$. Так как $$p>0$$, то $$p = \frac{-14+26}{2} = \frac{12}{2} = 6$$.

Третья группа изображений (8-11)

Здесь используются свойства касательной и секущей, проведенных из одной точки, а также свойства двух касательных, проведенных из одной точки.

• 8) Дано: $$k$$ - касательная, $$x=4$$, $$y=5$$. Нужно найти $$p$$. По теореме о касательной и секущей: $$k^2 = x \times (x+y)$$. Здесь $$k$$ отсутствует, но есть $$x$$ и $$y$$, и значения $$p$$ и $$q$$ в столбце. Похоже, что $$p$$ в этой строке относится к $$k$$, то есть $$p=k$$. И $$q$$ в столбце - это $$x+y$$. Тогда $$k^2 = 4 \times (4+5) = 4 \times 9 = 36$$. $$k = \sqrt{36}=6$$.
• 9) Дано: $$p=1$$, $$q=24$$. Нужно найти $$x$$ и $$y$$. По теореме о касательной и секущей: $$p^2 = x \times (x+y)$$. $$1^2 = x(x+y)$$. Здесь $$p=1$$ — это касательная $$k$$. $$k^2 = x \times (x+y)$$. $$1^2 = x(x+y)$$. Предположим, что $$x=1$$ и $$y=0$$ — это некорректно. Если $$x=1$$, то $$1 \times (1+y)=1$$, $$1+y=1$$, $$y=0$$, что нелогично. Рассмотрим другой вариант. Если $$x$$ и $$y$$ - это отрезки секущей, а $$k$$ - касательная. То $$k^2 = x(x+y)$$. И если $$p$$ и $$q$$ в таблице - это $$x$$ и $$y$$. $$1^2 = x \times y$$. Это не подходит. Пересмотрим задачу 8. Если $$p$$ и $$q$$ в таблице — это $$x$$ и $$y$$. То в 8) $$x=4, y=5$$. $$k^2 = x \times (x+y) = 4 \times (4+5) = 36$$, $$k=6$$. В 9) $$p=1, q=24$$. Если $$p$$ — это $$k$$. $$k=1$$. $$1^2 = x(x+y)$$. Это не подходит. Проверим изображения заново. В 8) $$p$$ и $$q$$ — это части секущей. $$x$$ — внешняя часть, $$y$$ — внутренняя. $$k$$ — касательная. $$k^2 = x \times (x+y)$$. В таблице для 8) $$x=4$$, $$y=5$$. $$k^2 = 4 \times (4+5) = 36$$. $$k=6$$. Теперь 9). $$p=1$$, $$q=24$$. Здесь $$p$$ и $$q$$ — это части секущей. $$p=1$$ — внешняя часть, $$q=24$$ — внутренняя. Нужно найти $$k$$. $$k^2 = p(p+q) = 1(1+24) = 25$$. $$k=5$$. Но в таблице $$p=1, q=24$$, а $$x, y$$ пропущены. Вернемся к изображению. В 3-й группе изображений: $$k$$ — касательная, $$x$$ — внешняя часть секущей, $$y$$ — внутренняя часть секущей. $$k^2 = x(x+y)$$. В таблице 8) $$x=4, y=5$$. $$k^2 = 4(4+5) = 36$$. $$k=6$$. Но в таблице $$x=4, y=5$$ под $$p, q$$. Значит $$p=x=4, q=y=5$$. И $$k$$ — это значение в столбце $$k$$. Так $$k=6$$. Переинтерпретируем столбцы $$x$$ и $$y$$ в последней таблице. 8) $$k=6$$ (предполагаем, что $$p$$ в столбце $$p$$ — это $$k$$). $$x=4, y=5$$. $$k^2 = x(x+y) \rightarrow 6^2 = 4(4+5) = 4 \times 9 = 36$$. Верно. 9) $$x$$ и $$y$$ пропущены. $$p=1, q=24$$. Если $$p=k=1$$, то $$1^2 = x(x+y)$$. Не подходит. Если $$p=x=1, q=y=24$$. Тогда $$k^2 = 1(1+24) = 25$$. $$k=5$$. Но в таблице $$k$$ пропущено, а $$x, y$$ пропущены. Уточним назначение столбцов $$p$$ и $$q$$. В 3-й группе изображений $$k$$ — касательная, $$x$$ — внешняя часть секущей, $$y$$ — внутренняя часть секущей. $$k^2 = x(x+y)$$. В таблице 8) $$x=4, y=5$$. $$k=6$$. Значит, $$k$$ — это значение в столбце $$k$$. $$p$$ и $$q$$ в этой строке — это $$x$$ и $$y$$? Да, $$x=4, y=5$$. $$6^2 = 4(4+5) = 36$$. Верно. 9) $$k$$ пропущено. $$x=1, y=24$$. $$k^2 = 1(1+24) = 25$$. $$k=5$$. 10) $$k=12$$. $$x=3, y=?$$. $$12^2 = 3(3+y)$$. $$144 = 9+3y$$. $$3y = 144-9 = 135$$. $$y=45$$. 11) $$k=12$$. $$x=?$$, $$y=18$$. $$12^2 = x(x+18)$$. $$144 = x^2+18x$$. $$x^2+18x-144=0$$. $$D = 18^2 - 4(1)(-144) = 324 + 576 = 900$$. $$x = \frac{-18 \[0.5ex]\pm\ \sqrt{900}}{2} = \frac{-18 \[0.5ex]\pm\ 30}{2}$$. Так как $$x>0$$, то $$x = \frac{-18+30}{2} = \frac{12}{2} = 6$$.

Заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.