ЗАДАНИЕ №6 В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Дано: Треугольник ABC, медиана BM, высота BH, AC = 2, BC = BM.

Найти: AH.

Решение:
1. Поскольку BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 2/2 = 1.
2. Известно, что BC = BM.
3. Рассмотрим треугольник BCM. Так как BC = BM, то этот треугольник равнобедренный, и углы ∠BCM = ∠BMC.
4. Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, т.к BH - высота.
5. В треугольнике BCM, так как BM = BC, углы ∠BMC=∠BCM.
6. Если ∠BCM = α, то ∠BMC тоже равен α.
7. Поскольку BH является высотой, то ∠BHC = 90°.
8. В равнобедренном треугольнике BCM, медиана из B к MC перпендикулярна MC, это значит что ∠BMC + ∠BHC = 90° + ∠BCM = 90° + α. Это невозможно, только если BHC и BM совпадают.
9. Получается, что точка M совпадает с точкой H, и следовательно, медиана и высота совпадают. То есть треугольник ABC равнобедренный.
10. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то высота BH также является медианой. То есть AH = HC = AC / 2 = 2/2 = 1.

Ответ: AH = 1.