Задание 7.4. Эльф Фома работает на заводе по украшению новогодних ёлок. У него есть 10 видов звёзд, которые он может надеть на макушку ёлок. Также у него есть мишура трёх разных цветов и очень много шариков 10 разных цветов. Фома считает ёлку красиво украшенной, если на ней есть звезда, мишура ровно двух цветов и не менее девяти шариков, среди которых нет одноцветных. Сколько различных красиво украшенных ёлок может подготовить Фома? Два варианта считаются различными, если различаются выбранные виды/цвета или оформление. Количество предметов каждого выбранного вида и их расположение не учитываются.

Выберем звезду: для неё есть 10 вариантов.

Выберем два цвета мишуры из трёх: \(\binom{3}{2}=3\) варианта.

Для шариков учитывается набор представленных цветов, а не количество шариков каждого цвета. Так как шариков не меньше девяти и они не все одного цвета, набор может содержать от двух до десяти цветов. Число таких наборов:

\(\displaystyle \sum_{k=2}^{10}\binom{10}{k}=2^{10}-\binom{10}{0}-\binom{10}{1}=1024-1-10=1013.\)

Каждый такой набор можно использовать: выбрать не менее девяти шариков, чтобы были представлены все цвета набора и хотя бы два цвета.

Перемножим числа независимых вариантов: \(10\cdot 3\cdot 1013=30390\).

Ответ: 30 390 ёлок.