Задание 7. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

Так как ABCD — параллелограмм, соседние углы B и C в сумме равны \(180^\circ\). Их биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между биссектрисами равен \(90^\circ\). Следовательно, \(BM \perp CM\).

Кроме того, \(AD \parallel BC\), а точка M лежит на AD. Поэтому расстояния от B и C до прямой AD равны высоте параллелограмма, опущенной на сторону BC. Из прямоугольности треугольника BMC и того, что его острые углы равны половинам дополнительных углов B и C, следует, что \(BM = CM\). Значит, треугольник BMC равнобедренный прямоугольный, а M лежит на прямой AD.

Поскольку \(BM = CM\), точка M равноудалена от B и C. Локус точек, равноудалённых от концов BC, — серединный перпендикуляр к BC. Он пересекает прямую AD в её середине, так как в параллелограмме расстояния между параллельными прямыми AD и BC одинаковы, а проекция середины BC на AD является серединой AD. Следовательно, M — середина AD.

Ответ: M — середина AD.