Задание 7. Докажите, что при любом целом $n$ значение выражения $\left(\frac{25}{36n^2}+\frac{6n}{5}\right):\left(\frac{5}{36n^2}-\frac{1}{6n}+\frac{1}{5}\right)$ является целым числом. В ответ запишите упрощённое и тождественно равное исходному выражение.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 7. Докажите, что при любом целом $n$ значение выражения…$ Фото задания

Задание 7. Докажите, что при любом целом $n$ значение выражения $\left(\frac{25}{36n^2}+\frac{6n}{5}\right):\left(\frac{5}{36n^2}-\frac{1}{6n}+\frac{1}{5}\right)$ является целым числом. В ответ запишите упрощённое и тождественно равное исходному выражение.

Accepted Answer

Область определения исходного выражения: $n\ne0$, поскольку в знаменателях дробей присутствуют $n$ и $n^2$.

В первой скобке приводим слагаемые к общему знаменателю:

\[\frac{25}{36n^2}+\frac{6n}{5}=\frac{125+216n^3}{180n^2}.\]

Во второй скобке:

\[\frac{5}{36n^2}-\frac{1}{6n}+\frac{1}{5}=\frac{25-30n+36n^2}{180n^2}.\]

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

\[\frac{125+216n^3}{25-30n+36n^2}.\]

Числитель раскладывается на множители: $125+216n^3=5^3+(6n)^3=(5+6n)(25-30n+36n^2)$. Сокращаем общий множитель и учитываем, что $25-30n+36n^2\ne0$ для действительных $n$: его дискриминант равен $900-3600<0$.

Итак, для всех целых $n\ne0$ исходное выражение тождественно равно $6n+5$, что является целым числом. При $n=0$ исходное выражение не определено, поэтому формулировка «при любом целом $n$» требует этого уточнения.

Ответ: $6n+5$, при $n\ne0$.