Задание 7. Квадрат ABCD со стороной 8 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 4 раза меньше площади четырёхугольника BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных частей — целые числа. Чему может быть равна длина AE? Укажите все подходящие варианты. Ответ выразите в сантиметрах.

Обозначим длину AE через x см, а расстояние от F до стороны AD — через u см. Тогда ED = 8 − x.

Площадь треугольника EDF равна (8 − x)u/2. Поскольку эта площадь в 4 раза меньше площади BCDF, площадь четырёхугольника BCDF равна в четыре раза большей.

Для координат D(0, 0), C(8, 0), B(8, 8), E(0, 8 − x) точка F на EB имеет координаты (u, y), где y = 8 − x + xu/8. Площадь BCDF равна 32 + 4y − 4u. Из условия получаем:

4(8 − x)u = 32 + 4y − 4u, то есть 4(8 − x)u = 128 − 8x + xu − 8u.

Отсюда u = 8(16 − x)/(5(8 − x)), а площадь EDF равна 4(16 − x)/5.

Площадь EDF должна быть целым числом. Так как x — целое число от 1 до 7, условие целочисленности выполняется при x = 1 или x = 6. В обоих случаях площадь BCDF и третьей части квадрата также целочисленна.

Ответ: 1 см и 6 см.