Задание 7. Лёня выкладывает спички в виде клетчатого прямоугольника; сторона клетки — одна спичка. Для прямоугольника 2×3 потребуется 17 спичек. Прямоугольник какого размера он может выложить, используя ровно 87 спичек? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавив при необходимости. Прямоугольники \(a\times b\) и \(b\times a\) считайте одинаковыми; в ответ запишите тот, в котором \(a\le b\). Формат ответа: «число + русская буква x + число без пробелов».

Если прямоугольник имеет размеры \(a\times b\) клеток, горизонтальных спичек будет \(a(b+1)\), а вертикальных — \(b(a+1)\). Всего:

\(a(b+1)+b(a+1)=2ab+a+b=87\).

Переберём возможные значения меньшей стороны \(a\), учитывая \(a\le b\). Из уравнения \(b(2a+1)=87-a\), поэтому \(2a+1\) должно делить 87−a.

При \(a=1\): \(3b=86\), целого \(b\) нет.

При \(a=2\): \(5b=85\), значит \(b=17\). Получаем размер 2x17.

При \(a=3\): \(7b=84\), значит \(b=12\). Получаем размер 3x12.

При \(a=4\): \(9b=83\), целого \(b\) нет. При \(a\ge5\\) левая часть \(2ab+a+b\) при \(b\ge a\) не меньше \(2a^2+2a\), что уже при \(a=5\) равно 60; проверка делителей \(2a+1\) для оставшихся допустимых значений \(5\le a\le6\) даёт целых решений нет. (При \(a\ge7\) минимум \(2a^2+2a\ge112>87\).)

Ответ: 2x17, 3x12.