Задание 7. Меньшая сторона прямоугольника равна 10 см, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника. Дано: ABCD — прямоугольник, ∠AOB = 60°, AB = 10 см.

Диагонали прямоугольника равны, поэтому достаточно найти длину одной из них. Обозначим большую сторону прямоугольника через x.

Диагонали образуют с большей стороной равные острые углы. Так как угол между диагоналями равен 60°, каждый из этих углов равен 30°. В прямоугольном треугольнике с катетами 10 см и x:

\(\tan 30^\circ = \frac{10}{x}\), поэтому \(x = 10\sqrt{3}\) см.

По теореме Пифагора длина диагонали:

\(d = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100+300} = 20\) см.

Ответ: обе диагонали равны 20 см.