Задание 7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 7776. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Пусть меньшее число равно a, а большее — b. Если их НОД равен одному из чисел, то он не может быть равен большему числу, поэтому НОД равен a. Значит, a делит b, и произведение можно записать как a · b = a² · k, где k — натуральное число. Следовательно, a² должно делить 7776.

Разложим произведение на простые множители: 7776 = 2⁵ · 3⁵. Наибольший квадратный делитель этого числа равен 2⁴ · 3⁴ = 1296, поэтому наибольшее возможное a равно √1296 = 36.

Это значение достижимо: при a = 36 второе число равно 7776 ÷ 36 = 216, и НОД(36, 216) = 36.

Ответ: 36.