Задание 7. Решите уравнение. Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

1) \( \frac{5}{x-12} = \frac{12}{x-5} \)

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x \neq 12 \) и \( x \neq 5 \).
2. Перемножим крест-накрест: \( 5(x-5) = 12(x-12) \)
3. Раскроем скобки: \( 5x - 25 = 12x - 144 \)
4. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 5x - 12x = -144 + 25 \)
5. Приведём подобные слагаемые: \( -7x = -119 \)
6. Разделим обе части на \( -7 \): \( x = \frac{-119}{-7} = 17 \)
7. Полученное значение \( x = 17 \) входит в ОДЗ.

2) \( \frac{7x+2}{4} + 1 = \frac{5x}{3} \)

1. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей (12), чтобы избавиться от знаменателей: \( 12 \cdot \frac{7x+2}{4} + 12 \cdot 1 = 12 \cdot \frac{5x}{3} \)
2. Сократим дроби: \( 3(7x+2) + 12 = 4(5x) \)
3. Раскроем скобки: \( 21x + 6 + 12 = 20x \)
4. Приведём подобные слагаемые: \( 21x + 18 = 20x \)
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 21x - 20x = -18 \)
6. Приведём подобные слагаемые: \( x = -18 \)

3) \( -5 + \frac{x}{3} = \frac{x+8}{6} \)

1. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей (6), чтобы избавиться от знаменателей: \( 6 \cdot (-5) + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot \frac{x+8}{6} \)
2. Выполним умножение и сокращение: \( -30 + 2x = x+8 \)
3. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 2x - x = 8 + 30 \)
4. Приведём подобные слагаемые: \( x = 38 \)

Ответ: 1) \( x = 17 \); 2) \( x = -18 \); 3) \( x = 38 \).