Задание 7. Шесть студентов-одногруппников договорились общими усилиями решить подготовительный вариант контрольной работы. Каждый студент написал решение к 2 задачам, причём оказалось, что у каждой пары студентов есть решения ровно к 3 различным задачам. Сколько задач было в подготовительном варианте контрольной работы, если нерешённых задач не осталось?

Рассмотрим решения каждого студента как пару задач. У любой пары студентов вместе ровно 3 различные задачи, значит, их пары решений имеют ровно одну общую задачу.

У каждой пары студентов есть общая задача. Такие попарно пересекающиеся пары, если их больше трёх, должны содержать одну и ту же задачу: иначе попарно пересекающимися парами можно было бы составить не более трёх различных пар.

Значит, все 6 студентов решили одну общую задачу. У каждого студента есть ещё по одной задаче; эти дополнительные задачи должны быть разными, иначе двое студентов имели бы вместе только 2 различные задачи. Итого: 1 общая задача и 6 разных дополнительных.

Ответ: 7 задач.