Задание № 7 Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АBCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а высота $$h$$. Площадь трапеции $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$$.

Площадь треугольника ECD равна $$S_{ECD} = \frac{1}{2} × CD × h_E$$, где $$h_E$$ — высота треугольника, проведенная из вершины E к основанию CD. Так как E — середина AB, то расстояние от E до CD равно половине высоты трапеции, т.е. $$h_E = \frac{h}{2}$$.

Тогда $$S_{ECD} = \frac{1}{2} × CD × \frac{h}{2}$$. Если CD является одним из оснований трапеции, то $$CD = a$$ или $$CD = b$$. Предположим $$CD = a$$. Тогда $$S_{ECD} = \frac{1}{2} × a × \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$$. Это не половина площади трапеции. Необходимо уточнение, что CD является основанием трапеции.

Если CD является основанием трапеции, а AB — другим основанием, и E — середина боковой стороны AB, то площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции. Доказано.